Problema de colisiones

[Publio]

Hola a todos. Estoy intentando comprender la resolución del siguiente problema:

"La esfera de 2 kg se proyecta horizontalmente con una velocidad de 10 m/s contra el móvil de 10 kg que está sujeto por un resorte de constante k = 1600 N/m. El móvil está inicialmente en reposo y el resorte sin comprimir. Si el coeficiente de restitución es 0.6, calcular la velocidad de rebote ${v}'$ y el ángulo de rebote $\theta$"





Para hallar el ángulo $\theta$ plantean tres ecuaciones: la conservación del momento lineal del sistema, la conservación del momento lineal de la esfera y la ecuación del coeficiente de restitución:

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}= -{m}'_{1}{v}'_{1}\cos \theta +{m}'_{2}{v}'_{2}$

$m_{1}v_{1}\sin 30^{\circ}=m_{1}{v}'_{1}\sin \left ( \theta -30^{\circ} \right )$

$\dst 0.6=\frac{{-v}'_{2}\cos30^{\circ}-{v}'_{1}\cos \left ( \theta -30^{\circ} \right )}{-v_{1}\cos 30^{\circ}-0}$

El planteamiento en sí lo entiendo, pero hay dos cuestiones que me surgen:

a) ¿Se pueden utilizar dos sistemas de referencia distintos en el mismo sistema de ecuaciones? Porque, si no lo interpreto mal, la conservación del momento del sistema utiliza coordenadas rectangulares y las otras dos ecuaciones coordenadas intrínsecas.

b) Si en vez de plantear la conservación del momento lineal de la esfera en el eje t lo planteo para la componente normal:

$-m_{1}v_{1}\cos 30^{\circ}=m_{1}{v}'_{1}\cos \left ( \theta-30^{\circ} \right )$

el resultado me sale distinto y tendría que salir también. Es más, de esta forma, solo se necesitarían las ecuaciones del momento de la esfera y la del coeficiente de restitución ¿Tengo mal planteada la ecuación para la componente normal? ¿Alguien me podría echar un cable?

Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Las ecuaciones las veo mal, pequeños gazapos diría

en el eje x se conserva el momento lineal

$m_1v_{1i}=-m_1v_{1f}\cos\theta +m_2v_{2f}\cos 30$

aquí ya tengo una diferencia con tu planteo

en el eje y no hay conservación del momento lineal ya que suponemos que sistema masa resorte no se mueve en la dirección y aunque reciba un impulso en esa direccion

$\Delta P_y=m_1v_{1f}\sin\theta$ que en teoría sería igual a $m_2v_{2f}\sin30$ si se pudiera esta mover.

la conservación del momento respecto de un SR rotado y sin velocidad relativa, es consistente puesto que los módulos de la velocidades son coincidentes en ambos sistemas, solo hay que tratar bien la trigonometría para convertir una proyección de un vector sobre el otro sistema de referencia,

así veo que

$m_1v_{1i}\sin30\°=m_1v_1\sin\theta+m_2v_2\sin(90\°-30\°)$

entonces otra diferencia que encontré es que la $m_2$ se mueve respecto de la normal al plano de choque.

y en el coeficiente de restitución


$C_R=0.6=-\dfrac{v_{2f}\cos 30\° -v_{1f} \cos (\theta-30\°) }{0-v_{1i}\cos30\°}$

tienes una diferencia en signos.


fijate si cuadran para calcular y despejar las 3 incógnitas, $\theta, v_{1f}, v_{2f}$

[Publio]

Hola Richard, muchas gracias. Hay alguna cosa que no entiendo, perdona.

1. En el eje x, el momento de m₂ cómo puede ser $m_2v_{2f}\cos 30$ si v_2f está sobre el mismo eje x. Yo entiendo que debería ser $m_2v_{2f}$.
2. Cuando planteas la ecuación $m_1v_{1i}\sin30\°=m_1v_1\sin\theta+m_2v_2\sin(90\°-30\°)$ ¿es para el eje t?
3. No comprendo el signo (-) delante de C_R, sin él me parecería correcto.

[Richard R Richard]

Ja, me preguntas por todo lo que he indicado o corregido,

Hola Richard, muchas gracias. Hay alguna cosa que no entiendo, perdona.

1. En el eje x, el momento de m₂ cómo puede ser $m_2v_{2f}\cos 30$ si v_2f está sobre el mismo eje x. Yo entiendo que debería ser $m_2v_{2f}$.

Si haces chocar una bola de billar con otra detenida, si impacta con el centro en el mismo eje, ambas se mantienen sobre el mismo eje, porque? Porque el plano del choque es perpendicular a la dirección de la velocidad. Pero si no impactas en el centro el plano de impacto se corre ,la normal se inclina y si las masas son iguales, el ángulo de salida es igual y opuesto al de entrada respecto de la normal, como si hubiese rebotado cada una sobre un plano inclinado que se desplaza a la velocidad de centro de masas de las dos bolas.
En definitiva, en este problema, al chocar sobre un plano inclinado el momento inicial se reparte en lo que toma m1 consu ángulo de salida y lo toma m2 que como no impacta recto no puede continuar solo con la velocidad v2f luego del impacto , v2f tiene componente vertical solo que como en esa dirección no se conserva el momento porque es absorbido por las paredes , luego solo puedes tomar en la dirección horizontal una componente que calculas como el complemento del ángulo de impacto respecto de la normal.

2. Cuando planteas la ecuación $m_1v_{1i}\sin30\°=m_1v_1\sin\theta+m_2v_2\sin(90\°-30\°)$ ¿es para el eje t?

Si claro ya te explique porque sirve igual plantearlo de ese modo.

3. No comprendo el signo (-) delante de C_R, sin él me parecería correcto.

Pues mira la definición de la Wikipedia
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Coef...stituci%C3%B3n
en esa definición ya tienen en cuenta los signos de la velocidad en el sistema de referencia, solo debes poner en la fórmula el módulo de cada componente, para que también te devuelva un módulo el que debes interpretar que su sentido entrante es hacia el plano de choque y saliente luego del choque.lugo eso adaptarlo a tu sistema de referencia usando lógica y trigonometría.

[Publio]

Hola Richard, lo siento, sigo sin comprenderlo.

Sobre la velocidad v_2f, ¿por qué deberíamos interpretar que su ángulo de salida es 30º? Así como el ángulo de salida de v_1f es indeterminado, $\theta$, el de v_2f también debería serlo. Y si es el complemento del ángulo de impacto respecto de la normal que, entiendo que es 30º, ¿no tendría que ser 60º? Aunque lo que yo realmente diría es que, si la componente vertical es nula, la componente horizontal y la resultante coincidirían.

[Richard R Richard]

Hola Richard, lo siento, sigo sin comprenderlo.

Sobre la velocidad v_2f, ¿por qué deberíamos interpretar que su ángulo de salida es 30º? Así como el ángulo de salida de v_1f es indeterminado, $\theta$, el de v_2f también debería serlo.

Para que lo entiendas puedes resolver el mismo problema(la conservación del momento lineal) pero deja que m_2 se mueva libremente, hacia donde apunta v2f,en función del ngulo de la normal? es el mismo problema pero solo que no se va a mover en direccion $y$, y lo que suceda en x es lo mismo en ambos problemas

Y si es el complemento del ángulo de impacto respecto de la normal que, entiendo que es 30º, ¿no tendría que ser 60º?

exacto, es 60 pues $\sin(90\°-30\° )=\sin(60\°)$

Aunque lo que yo realmente diría es que, si la componente vertical es nula, la componente horizontal y la resultante coincidirían.

aver antes del impacto. puedes calcular la velocidad del CM , entre las masas $m_1$ y $m_2$ , luego del impacto el CM debe continuar moviéndose con la misma velocidad en cada uno de los ejes. pues se conserva el momento lineal

eso hace que $m_2$ se mueva , imagina que el ángulo de la normal t es 60 en vez de 30 el valor de lo que aporta la cantidad de movimiento en la dirección x para m2 será el mismo ? es claro que no , y es fácil ver que depende de ese Angulo de la normal,

sobre la vertical no hay conservación , si la masa 2 no retrocediera (estuviera fija), el ángulo de salida seria el doble que el Angulo de impacto 60°desde a horizontal, pero como algo del momento lineal se lo queda $m_2$, entonces $\theta$ aumenta por encima de 60°, el momento lineal de $m_2$ hacia abajo, es el mismo momento lineal de $m_1$ hacia arriba, pero como los anclaje no dejan mover libremente a $m_2$ y solo observas su componente horizontal de la velocidad





como ves en el dibujo la misma colisión de las mismas masas pero con una normal de impacto distinta da ángulos de salida distintos , pero si lo miras desde el punto de vista del cm los ángulo está relacionado con el ángulo de la normal y con la relación de masas, que si esta es 1 el angulo relativo es el el mismo solo que uno es antihorario y el otro horario , para que el momento lineal en el eje y siga siendo nulo pero visto desde un sistema de referencia que no esta en puesto en el CM los ángulos cambian, por la adición de la velocidad relativa del SR, y no tienen porque ser iguales solo lo seran si relación de masas es 1, es por ello que $\theta$ no es justo el doble de 30°

[Publio]

Muchas gracias por tus explicaciones Richard, creo que ya lo he comprendido. Me ha salido planteando la conservación del momento del sistema sobre el eje x utilizando las proyecciones de v_1t y v_1n sobre ese eje:

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}= m_{1}({v}'_{1t}\cos 60\°- {v}'_{1n}\cos 30\°)+m_{2}{v}'_{2}$

teniendo en cuenta la conservvación del momento de la esfera sobre el eje t:

$m_{1}v_{1t}=m_{1}{v}'_{1t}=10 \sin 30^{\circ}$

y el coeficiente de restitución:

$\dst 0.6=\frac{{v}'_{2n}-{v}'_{1n}}{v_{1n}-v_{2n}}=\frac{{-v}'_{2}\cos30^{\circ}-{v}'_{1n}}{-v_{1}\cos 30^{\circ}-0}$

[JCB]

Hola a tod@s.

Me parece que el planteo que expones en el enunciado es correcto, Publio.

a) Conservación de la cantidad de movimiento en el eje $X$. Aunque esté presente un muelle, este no ejercerá ninguna fuerza, hasta que el móvil empiece a moverse con la velocidad $v'_2$, adquirida por el impacto de la esfera. Por tanto, inicialmente, entiendo que se puede considerar que la cantidad de movimiento se conserva. Posteriormente el móvil quedará detenido por efecto del muelle.

$m_1v_1+\cancelto{0}{m_2v_2}=m_1v'_1\cos\theta+m_2v'_2$.

b) Conservación de la cantidad de movimiento de la esfera en la dirección del eje $t$. Para que se conserve la cantidad de movimiento de la esfera en el eje $t$, debe hacerse la suposición de que no existe rozamiento entre la esfera y el plano inclinado del móvil.

$\cancel{m_1}v_1\sin 30^{\circ}=\cancel{m_1}v'_1\sin(\theta-30^{\circ})$.

c) Coeficiente de restitución. Este coeficiente relaciona las velocidades relativas a lo largo de la línea de impacto (el eje $n$), antes y después de la colisión.

$e=\dfrac{v'_2\cos 30^{\circ}-v'_1\cos(\theta-30^{\circ})}{v_1\cos 30^{\circ}-0}$.

Saludos cordiales,
JCB.