Reordenación de términos en ecuación trascendente (tiro parabólico)

[follonic]

Para hallar el tiempo de vuelo en tiro parabólico con resistencia lineal, MARION/THORNTON plantean:

$T=\frac{kV+g}{gk}(1-e^{-kt})$

Desarrollan el exponencial en series de potencia hasta $k^3$ :

$T= \frac{kV+g}{gk}(kT-\frac{1}{2}k^2T^2+\frac{1}{6}k^3T^3)$ (1)

Reordenan:

$T= \frac{2V/g}{1+kV/g}+\frac{1}{3}kT^2$ (2)

¿Cómo hacer para llegar a esta reordenación?

Prosiguen desarrollando en series de potencia el primer término de la derecha de (1) hasta $k^2$ :

$\frac{1}{1+kV/g}= 1-kV/g+(kV/g)^2$

Sustituyen en (2)

$T= \frac{2V}{g}+(\frac{T^2}{3}-\frac{2V^2}{g^2})k+ O(k^2)$ (3)

($O(k^2)\rightarrow$ para ignorar potencias iguales o superiores a $k^2$)

¿Cómo hacer para llegar a aquí?

Gracias

[Richard R Richard]

Hola follonic.. recuerda que no se puede adjuntar contenido que tenga copyright en el foro, aunque haya sitios que provean el acceso gratuito al libro,

Conseguí acceder al libro y veo de nuevo , no solo una elección rara de sistema de referencia, sino esta vez un gazapo de impresión, según mi criterio.

te relato que es lo que hace, repite los pasos sin los gazapos y veras que sale, me sorprende, pero bueno se les paso, aunque luego, como siempre, arriban al resultado necesario.

tu primer fórmula trata de despejar el tiempo de una ecuación en la que no se puede, por métodos comunes, requiere de aproximaciones y eso es lo que hacen luego, entonces, el salto a la segunda es aproximar por un polinomio de taylor la función $(1-e^{-kt})$

una vez que lo tiene desarrollado hasta el tercer grado del polinomio, lo reducen dividiendo ambos términos a la izquierda y derecha de la igualdad por T.

en la tercera ecuación de nuevo despeja T dejándola en función de T^2

repiten el procedimiento de crear una serie de Taylor de la función $\dfrac{1}{1+kV/g}$ y una vez que lo obtienen lo reemplazan en la tercer ecuación quedando la quinta ecuación, el termino $O(k^2)$ te dice en grado del polinomio se ha truncado la serie, para que puedas evaluar el error que cometes

No he seguido mas adelante, pero para mi sería útil calcular T hallando el cero del polinomio de segundo grado (esa ecuación) mediante una cuadrática y listo, han hecho bastantes aproximaciones, más útil es un algoritmo, que calcule por iteración la altura a medida que pasa el tiempo, y se detenga cuando la altura es nula (ha llegado al suelo). Pero bueno ellos tratan de obtener una función mas directa, pero bastante difícil de interpretar porque sería correcta.

[follonic]

Gracias; no sabía lo del copyright. Por lo demás, ya he dicho en otro hilo que, en mi opinión, es antididáctico que los autores de manuales para estudiantes acostumbren a saltarse pasos y poner directamente conclusiones. Si ya para expertos como vosotros puede resultar una impertinencia, imagina para amateurs como yo.

[Alriga]

...tu primer fórmula trata de despejar el tiempo de una ecuación en la que no se puede, por métodos comunes, requiere de aproximaciones y eso es lo que hacen luego, entonces, el salto a la segunda es aproximar por un polinomio de taylor la función $(1-e^{-kt})$

una vez que lo tiene desarrollado hasta el tercer grado del polinomio, lo reducen dividiendo ambos términos a la izquierda y derecha de la igualdad por T.

en la tercera ecuación de nuevo despeja T dejándola en función de T^2

repiten el procedimiento de crear una serie de Taylor de la función $\dfrac{1}{1+kV/g}$ y una vez que lo obtienen lo reemplazan en la tercer ecuación quedando la quinta ecuación, el termino $O(k^2)$ te dice en grado del polinomio se ha truncado la serie, para que puedas evaluar el error que cometes...

Gracias Richard R Richard . No sé si has notado que todo ese esfuerzo que hace el libro para hallar esa aproximación mediante el "método perturbacional" no tiene ninguna utilidad física práctica, (solo podría servir para "aprender a jugar" con las matemáticas de las aproximaciones de Taylor).

El error que se comete utilizando esa aproximación respecto de la solución exacta calculada mediante métodos numéricos es enorme. Se ve en la figura 2-9 de la página 69 del libro, la aproximación calculada es rematadamente mala incluso para valores pequeñísimos de la constante "k" de proporcionalidad entre la resistencia por fricción y la velocidad.

Saludos.

[Richard R Richard]

Si bien la pregunta del hilo tiene su razon de estar , no quita lo siguiente... Si, lo noté, pero no del modo que tu dices, igualmente un tufillo tenía, demasiada matemática , para conclusiones poco utilizables en la practica, De hecho , me dio pereza hacer todo el desarrollo un poco más detallado,para dejarlo aquí en el foro, porque cualquier recomendación nuestra a futuro iría en otro sentido en vez de a este hilo, Saludos.