1r ciclo Colisión de planeta en órbita circular con cometa en órbita parabólica

[nachoso123]

Un cometa de masa βm(donde β^2=1/2) que se mueve en una órbita parabólica en torno al Sol choca con un planeta de masa "m" que orbita el Sol siguiendo una trayectoria circular de radio R. El choque ocurre cuando el cometa está pasando por el punto más cercano al Sol, moviéndose en la misma dirección que el planeta. Luego del impacto ambos cuerpos quedan unidos, formando un nuevo planeta de masa [m′=m+βm] con órbita elíptica
a) Determine la rapidez Va la que se mueve el planeta resultante.
b) Determine la máxima distancia al Sol que alcanza el nuevo planeta en la órbita resultante.

[Alriga]

Hola nachoso123 bienvenido a La web de Física, como miembro reciente echa un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva


a)

Si consultas el enlace Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas verás la demostración de que en una órbita circular se cumple (M es la masa del Sol) :

$v_c=\sqrt{\dfrac{G \ M}R}$

Y en el mismo enlace, para una órbita parabólica de perihelio R:

$v_p=\sqrt{\dfrac{2G \ M}R}$

Aplicamos conservación del momento angular en el instante anterior y posterior al choque:

$R \ m v_c+R \ \beta m v_p=R \ (m+\beta m)v_{pe}$

En donde $v_{pe}$ es la velocidad en el perihelio "R" de la nueva órbita elíptica de los dos objetos "pegados"

$v_{pe}=\dfrac{v_c+\beta v_p}{1+\beta}=(4+2\sqrt 2)\sqrt{\dfrac{G \ M}R}$


b)

La conservación de la energía, (ecuaciones 2 y 3 del enlace) implica:

$$\dfrac{v_{pe}^2}2-\dfrac{GM}{R}=\dfrac{v_{ae}^2}2-\dfrac{GM}{r_{ae}}$$

En donde $v_{ae}$ es la velocidad en el afelio de la órbita elíptica y $r_{ae}$ es la distancia al Sol en el afelio (que es lo que te pide el apartado b del enunciado)

Y por la ecuación (4) del enlace:

$$v_{pe} R=v_{ae} r_{ae}$$

Como conocemos $v_{pe}$ del apartado anterior, (1) y (2) forman un sistema de 2 ecuaciones de las que es posible deducir las 2 incógnitas que son $v_{ae}$ y $r_{ae}$

Saludos.

[nachoso123]

muchas gracias por la respuesta!!! solo tengo una pequeña duda. Segun he revisado mis notas y el libro de Kleppner, he notado que la ecuacion de la elipse es muy similar a la definida en tu respuesta, solo que en el libro usan la masa reducida del sistema "u", y si despejas, no queda exactamente igual la ecuacion. a que se debe esa diferencia? Saludos!!!

[Alriga]

Hola nachoso123 , por favor en el futuro no uses los comentarios para continuar el hilo, los comentarios son solo para pequeños detalles. En cuanto a tu pregunta, hombre, podrías imaginar que los que no tenemos ese libro "Kleppner" que nombras, no podemos ver la expresión matemática de la que hablas y no podemos compararla con ninguna de las que figuran en este hilo.

Escribe aquí cuál es esa expresión del libro, con cual de las del hilo la comparas, y podremos ver esa diferencia. Y recuerda que si uno espera obtener buenas respuestas, es importante hacer bien las preguntas.

Gracias por participar en La web de Física, saludos.

[nachoso123]

Disculpame por las molestias, tienes toda la razon! aunque creo que me resolvi solo la duda, ya que la masa reducida es para sistemas con 2 particulas donnde acciona una fuerza central, por lo que en este ejercicio creo que no aplica la masa reducida. De cualquier manera, te adjunto la formula (me disculpo por el idioma del libro, creo que no existe una version en español)