Los coeficientes de resistencia al aire no son dimensionales

[follonic]

TAYLOR(Classical Mechanics, 2005, p.44) expresa los coeficientes lineal y cuadrático de resistencia al aire como magnitudes dimensionales. Así, en punto al coeficiente lineal, el autor lo expresa así:

$b=\beta D$, siendo D el diámetro del proyectil

Pues bien, según Taylor $\beta = 1.6\cdot10^{-4}N\cdot\frac{s}{m^2}$

Esto me parece un error(grave), porque el coeficiente no es dimensional. El coeficiente de resistencia al aire es dado en la denominada expresión de PRANDTL(Handbook of Weaponary, 1982, p.144; está en internet):

$W=c_w\frac{\rho}{2}v^2\frac{\pi}{4}d^2$

donde

$c_w$ = 'dimensionless drag coefficient'
$\rho$ = densidad del aire
y $v$ y $d$ la velocidad y el diámetro del móvil

MARION/THORTON(Classical Dynamics, p.59) simplifican la expresión así:

$W=\frac{1}{2}c_w\rho A v^2$

En suma, es evidente que el coeficiente en cuestión carece de dimensiones, menos aún las que dice Taylor. Así, siguiento la terminología de este autor y haciendo $\beta=c_w\rho$ lo que resulta es la dimensión de la densidad del aire, $\rho$, o sea, $\frac{kg}{m^3}$. ¿De donde saca Taylor que el coeficiente es proporcional a N, supuesto que N=newtons?

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Que no cunda el pánico: no hay motivo de alarma. En un sólido moviéndose en un flujo de fluido laminar, predominan las fuerzas viscosas y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad (fenómeno estudiado por Stokes, y plasmado en su ley). Por el contrario, en un sólido moviéndose en un flujo de fluido turbulento, la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad (estudio atribuido a Lord Rayleigh).

Hago la comprobación en el caso de flujo laminar.

- Ley de Stokes: $F=6\pi R\mu v$.

- Expresión en el libro de Taylor: $F=bv=\beta Dv$.

Igualando, resulta $\beta=3\pi\mu$. Como el proyectil se mueve en el aire, $\mu=0,0000174\ Pa\cdot s=0,0000174\ \dfrac{N}{m^2}s$,

$\beta=1,6399\cdot 10^{-4}\ \dfrac{N}{m^2}s$.

Dejo la comprobación en flujo turbulento para ti.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Aclaro, que lo que he escrito, es válido para un proyectil esférico.

[follonic]

Pues, la verdad, ahora sí que no lo veo claro. Es verdad que, de acuerdo con la fórmula de STOKES,$\mu$ tiene las dimensiones que indicas, que son las del coeficiente de viscosidad($N\cdot\frac{s}{m^2}$).(*).

Ahora bien, siendo así, ¿qué planteamiento se aplica para resolver los problemas de resistencia al aire-o, en general, a cualquier fluido, incluso? ¿el de la Ley de Stokes? ¿o el de la expresión de PRANDTL?. Porque mucho me temo que los resultados serán distintos.

Según el texto que apunto, Handbook of Weaponery, la expresión de PRANDTL parece ser reciente y debe deducirse en este libro:Prandtl/Oswatitsch/Wieghardt: Fiihrer durch die Stromungslehre
[Guide to hydrodynamics]. Braunschweig 1969(Por cierto, disponible en Amazón para quien lea alemán)

En todo caso, lo que sí es criticable es que TAYLOR no explique de donde obtiene la cuestionada cifra; o que de alguna pista, al menos.

(*) No sé si me he perdido algo, pero igualando $6\pi R\mu v$ con $\beta Dv$, y suponiendo que $D= R$, entonces $\beta=6\pi\mu$

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Comenzaré por lo último que has escrito.

(*) No sé si me he perdido algo, pero igualando $6\pi R\mu v$ con $\beta Dv$, y suponiendo que $D= R$, entonces $\beta=6\pi\mu$

Como he hecho explícito en el comentario # 2.1, se considera un proyectil esférico. Por tanto, $D=2R$, siendo $D =$ diámetro y $R =$ radio, llegando a que $\beta=3\pi\mu$.


2)

Ahora bien, siendo así, ¿qué planteamiento se aplica para resolver los problemas de resistencia al aire-o, en general, a cualquier fluido, incluso? ¿el de la Ley de Stokes? ¿o el de la expresión de PRANDTL?. Porque mucho me temo que los resultados serán distintos.

Como he escrito en el mensaje # 2, dependiendo del régimen (laminar o turbulento), se aplica Stokes o Rayleigh para determinar la fuerza de rozamiento.


3)

En todo caso, lo que sí es criticable es que TAYLOR no explique de donde obtiene la cuestionada cifra; o que de alguna pista, al menos.

Consultaré el libro de Taylor, a ver si encuentro alguna explicación.


4) Comprobación en el caso de flujo turbulento.

- Fuerza de Rayleigh: $F=\dfrac{1}{2}\rho v^2C_DA$.

- Expresión en el libro de Taylor: $F=cv^2=\gamma D^2v^2$.

Igualando, resulta $\gamma=\dfrac{\pi}{8}\rho C_D=\dfrac{\pi}{8}\cdot 1,292\ kg/m^3\cdot 0,47=0,24\ kg/m^3$.

Nota: $C_D=0,47$ es el coeficiente de resistencia del proyectil esférico (https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_arrastre).

Saludos cordiales,
JCB.

[follonic]

Gracias