Energía potencial del oscilador armónico y series de Taylor

[Alriga]

Nota que la Real Academia Española admite también "harmónico" como "forma poco usada" de "armónico"
armónico, ca. Tb. harmónico, p. us
Saludos.

[Weip]

He cometido un error al transcribir a SYMON; no es


$V(x)= V(x_0) + (\frac{dV}{dx})_{x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2}(\frac{d^2V}{dx^2})_{x_0}(x-x^2)+\frac{1}{6}(\frac{d^3V}{d^3x})_{x_0}(x-x_0)^3+...$

sino

$V(x)= V(x_0) + (\frac{dV}{dx})_{x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2}(\frac{d^2V}{dx^2})_{x_0}(x-x_0)^2+\frac{1}{6}(\frac{d^3V}{d^3x})_{x_0}(x-x_0)^3+...$

Es decir, todas las diferencias sí están evaluadas en $x_0$. Por tanto, poniendo el propio Symon como condición $x=x_0$ el polinomio se anula.

El texto de Symon en internet:

No, no están evaluadas. Creo que te estás confundiendo con la siguiente frase previa: "To show this, let $V(x)$ have a minimum at $x=x_0$, and expand the function $V(x)$ in a Taylor series about this point". Lo que está diciendo es que $V$ tiene un mínimo en $x=x_0$, pero esto no quiere decir que $x=x_0$, para nada. Lo confirma el hecho de que haga Taylor luego alrededor de $x_0$.

Para ilustrar esto quizás sería mejor ir a un ejemplo concreto. Imagina que tenemos un potencial unidimensional sinusoidal $V(x)=\sin(x)$. Tiene muchos mínimos, pero tomaremos el de $x=3\pi/2$ (por tanto $x_0=3\pi/2$). Hacemos Taylor alrededor de $x=3\pi/2$ (¡esto no quiere decir que $x$ esté evaluada en $3\pi/2$!):

$V(x)=\sin(x)=-1+\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)^2+...$

Pongo puntos suspensivos porque, al igual que en el libro que estás siguiendo, los demás términos no nos importan para lo que estamos haciendo. En todo caso, lo que dice Symon es que si te deshaces de la constante $-1=V(3\pi/2)$ (que al ser constante nos da un poco igual también), nos quedamos con un potencial de la forma:

$V(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)^2+...$

No es el mismo potencial que antes exactamente pero mantenemos la misma notación porque sólo les diferencia la suma de una constante. Tomando $k=1$ y $x'=x-3\pi/2$ obtenemos:

$V(x')=\dfrac{1}{2}kx'^2+...$

Por tanto alrededor del mínimo podemos aproximar por$(1/2)kx'^2$.

Edito: No había visto el mensaje previo. No afecta en nada a la explicación pero por responder directamente.

Hola. Si se acepta que $U=\frac{kx^2}{2}$ viene de la deducción que pongo y que, repito, creo pacífica, pienso que la parábola que representa esta función ya está definida y que, por tanto, las aproximaciones por series son redundantes si no imposibles. El termino de la derecha de la ecuación es un monomio y, por tanto, creo que, por definición, no es posible un polinomio de Taylor.

P.ejem., si en la TI Inspire ingresas( $\frac{k\cdot x^2}{2}, x, 66, 5$ )(es decir, desarrollar por Taylor $\frac{k\cdot x^2}{2}$ con la variable x=5 y hasta la derivada $66th$) te devuelve $\frac{25\cdot k}{2}+5\cdot k\cdot (x-5)+\frac{k\cdot (x-5)^2}{2}$, expresión que, vuelta a ingresar, devuelve $\frac{k\cdot x^2}{2}$.

Hay que suponer que con Mathematica u otros programas se obtendrá lo mismo.

Saludos

Pero la historia es que Symon no hace Taylor de $U$. Hablando de Mathematica, puedes comprobar el ejemplo que puse anteriormente del seno con Wolfram Alpha. Pon que te haga Taylor de $\sin(x)$ alrededor de $x=3\pi/2$ y verás que puedes hacer la aproximación por $U$ sin problemas (pero el Taylor es del seno, no de $U$). Por dejarlo claro: $V$ no es el potencial del oscilador armónico, es un potencial unidimensional bastante general. Basta con que tenga algún mínimo.

[follonic]

Observa que la evaluación en $x_0$ está en las derivadas. Las diferencias que vienen después no están evaluadas en $x_0$. Mira la fórmula de la serie de Taylor para asegurarte.

He cometido un error al transcribir a SYMON; no es


$V(x)= V(x_0) + (\frac{dV}{dx})_{x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2}(\frac{d^2V}{dx^2})_{x_0}(x-x^2)+\frac{1}{6}(\frac{d^3V}{d^3x})_{x_0}(x-x_0)^3+...$

sino

$V(x)= V(x_0) + (\frac{dV}{dx})_{x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2}(\frac{d^2V}{dx^2})_{x_0}(x-x_0)^2+\frac{1}{6}(\frac{d^3V}{d^3x})_{x_0}(x-x_0)^3+...$

Es decir, todas las diferencias sí están evaluadas en $x_0$. Por tanto, poniendo el propio Symon como condición $x=x_0$ el polinomio se anula.

El texto de Symon en internet:

[follonic]

Hola.

Una correccion gramatical, siempre relevante. Armónico, en español, se escribe sin hache. No se si se puede corregir el título del post, para facilitar búsquedas posteriores.

Saludos

Perdón por el desliz; estaba metido en el inglés y no caí

[follonic]

Antes de entrar en la cuestión en sí fíjate que lo que se plantea es aproximar un potencial unidimensional $V(x)$ por una parábola alrededor de un mínimo de $V$. Si haces un dibujo verás que tiene mucho sentido entonces plantear las oscilaciones pequeñas porque la gráfica de $V$ alrededor del mínimo es parecida a la de $(1/2)kx^2$. Es como cuando tienes un péndulo simple y haces la aproximación de oscilaciones pequeñas: obtienes un oscilador armónico.

Hola. Si se acepta que $U=\frac{kx^2}{2}$ viene de la deducción que pongo y que, repito, creo pacífica, pienso que la parábola que representa esta función ya está definida y que, por tanto, las aproximaciones por series son redundantes si no imposibles. El termino de la derecha de la ecuación es un monomio y, por tanto, creo que, por definición, no es posible un polinomio de Taylor.

P.ejem., si en la TI Inspire ingresas( $\frac{k\cdot x^2}{2}, x, 66, 5$ )(es decir, desarrollar por Taylor $\frac{k\cdot x^2}{2}$ con la variable x=5 y hasta la derivada $66th$) te devuelve $\frac{25\cdot k}{2}+5\cdot k\cdot (x-5)+\frac{k\cdot (x-5)^2}{2}$, expresión que, vuelta a ingresar, devuelve $\frac{k\cdot x^2}{2}$.

Hay que suponer que con Mathematica u otros programas se obtendrá lo mismo.

Saludos

[carroza]

Hola.

Una correccion gramatical, siempre relevante. Armónico, en español, se escribe sin hache. No se si se puede corregir el título del post, para facilitar búsquedas posteriores.

Saludos

[Weip]

Antes de entrar en la cuestión en sí fíjate que lo que se plantea es aproximar un potencial unidimensional $V(x)$ por una parábola alrededor de un mínimo de $V$. Si haces un dibujo verás que tiene mucho sentido entonces plantear las oscilaciones pequeñas porque la gráfica de $V$ alrededor del mínimo es parecida a la de $(1/2)kx^2$. Es como cuando tienes un péndulo simple y haces la aproximación de oscilaciones pequeñas: obtienes un oscilador armónico. Dicho esto lo miramos. 1) no lo comentaré porque no entiendo bien bien el problema.

2) Por otra parte, me parece pacífico que $U=\frac{1}{2}kx^2$ se deduce con total independencia de Taylor: $F dx= \frac{dU}{dx}$; siendo $F=-kx$, entonces $U=\frac{1}{2}kx^2$ (el propio Symon hace así páginas antes) . De hecho, $\frac{1}{2}kx^2$, como un monomio que es, no es susceptible de desarrollarse por Taylor, sea en en 0 en cualquier número.

Está aproximando $V$ por Taylor, no $U$. $U$ es la aproximación en sí.

3) Por lo demás, dejando de lado lo anterior, el argumentario de SYMON es erróneo desde el momento en que establece $x=x_0$, que, sin entrar en más cuestión, reduce el polinomio a 0. Y en cuanto a las 'abbreviations' me parecen un arbitrio para obtener lo que quiere.

Observa que la evaluación en $x_0$ está en las derivadas. Las diferencias que vienen después no están evaluadas en $x_0$. Mira la fórmula de la serie de Taylor para asegurarte.

[follonic]

En punto al oscilador harmónico, SYMON(Mechanics, 2nd ed., p.40 ) afirma

"In almost every case of one-dimensional motion where the potential energy function V(x) has one or more minima, the motion of the particle for small oscillations about the minimum point follows Eq. 2.84[...ma+kx= 0...]. To show this, let V(x) have a minimum at $x=x_0$, and expand the function V(x) in a Taylor series about this point:

$V(x)= V(x_0) + (\frac{dV}{dx})_{x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2}(\frac{d^2V}{dx^2})_{x_0}(x-x^2)+\frac{1}{6}(\frac{d^3V}{d^3x})_{x_0}(x-x_0)^3+...$

The constant $V(x_0)$ can be dropped without affecting the physical results. Since $x_0$ is a minimum point,

$(\frac{dV}{dx})_{x0}=0$, $(\frac{d^2V}{dx^2})_{x0}\ge0$.

Making the abbreviations

$k=(\frac{d^2V}{d^2x})_{x0}$,

$x'= x-x_0$

we can write the potential function in the form

$V(x)=\frac{1}{2}kx'^2+...$

For sufficiently small values of $x'$, provided $k\ne 0$, we can neglect the terms represented by dots and {...this equation...] becomes idential with equation [... $V(x)=\frac{1}{2}kx^2$ ...]. Hence, for small oscillations about any potential minimum, except in the exceptionatl case k=0, the motion is that of a harmonic oscillator"

A mi este planteamiento acerca de las 'small oscillations' me parece un error:

1) De entrada, el concepto de 'small oscillations' carece de sentido; yendo a la Ley de Hooke, $F= -kx$, $x$ puede tomar cualquier valor, por lo que, en rigor, no cabe la idea de oscilaciones 'pequeñas' o grandes. Un muelle en reposo de longitud $l_0$ puede comprimirse hasta $l_0-l$ y, no obstante, tener una longitud mucho mayor que 0. Y puede estirarse $l_0+l$ hasta multiplicar su longitud inicial $l_0$. Los ingenieros, supongo, se las verán con todo tipo de problemas de este estilo. Y el punto de partida será siempre la Ley de Hooke, lo mismo que la energía potencial asociada: $U=\frac{1}{2}kx^2$.

2) Por otra parte, me parece pacífico que $U=\frac{1}{2}kx^2$ se deduce con total independencia de Taylor: $F dx= \frac{dU}{dx}$; siendo $F=-kx$, entonces $U=\frac{1}{2}kx^2$ (el propio Symon hace así páginas antes) . De hecho, $\frac{1}{2}kx^2$, como un monomio que es, no es susceptible de desarrollarse por Taylor, sea en en 0 en cualquier número.

3) Por lo demás, dejando de lado lo anterior, el argumentario de SYMON es erróneo desde el momento en que establece $x=x_0$, que, sin entrar en más cuestión, reduce el polinomio a 0. Y en cuanto a las 'abbreviations' me parecen un arbitrio para obtener lo que quiere.

Gracias