1r ciclo Calculo de potencial fuerzas centrales

[lokeno100]

Una masa puntual m se mueve en un campo de fuerza central desconocido describiendo una trayectoria espiral dada por r(t)=k.theta(t). Hallar la forma del potencial que genera este campo de fuerzas. Hay que usar polares.

He usado que como es una fuerza central hay que tener en cuenta que el momento angular es constante, y luego también he pensado en el potencial efectivo pero no sé como calcularlo.

saludos. y gracias.

[arivasm]

Quizá operando un tanto "a pedal", yo también tiraría comenzando por la conservación del momento angular: $L=mr^2\dot\theta$. Como $r=k\theta$, $L=mk^2\theta^2\dot\theta$. La constancia de $\theta^2\dot\theta$ significa que $\theta^3$ tiene una dependencia lineal con el tiempo: $\dot{(\theta^3)}=3\theta^2\dot\theta=\frac{3L}{mk^2}=A$.

Por tanto, $\theta=(At+B)^{1/3}$.

Derivando encuentras que $\dot\theta=A/3\theta^2$ y $\ddot\theta=-2A^2/9\theta^5$. Usando $\theta=r/k$, toman la forma $\dot\theta=k^2A/3r^2$ y $\ddot\theta=-2k^5A^2/9r^5$.

De la forma polar para la aceleración tenemos que $F=ma_r=m(\ddot r-r\dot\theta^2)=m(k\ddot\theta-r\dot\theta^2)$, en la que podemos substituir las relaciones anteriores. Si no me equivoco, queda $F=-\frac{1}{9}mk^4A^2\left(\frac{2k^2}{r^5}+\frac{1}{r^3}\right)$, o en función del momento angular $F=-\frac{L^2}{m}\left(\frac{2k^2}{r^5}+\frac{1}{r^3}\right)$.

Para terminar solo queda aplicar que $F=-\frac{\dd U}{\dd r}$. Yo obtengo $U=-\frac{L^2}{2mr^2}\left(1+\frac{k^2}{r^2}\right)+cte$