1r ciclo Oscilador en r

[Visitante]

Buenas! Ando teniendo inconvenientes con un problema que no termina de salir:



La masa m se encuentra engarzada a un alambre rígido y es libre de moverse a lo largo de su longitud sin rozamiento. El resorte de constante K y longitud natural 0 se extiende desde la masa al origen de coordenadas. Se pide:
a) DCL.
b) Fuerza elástica que actúa sobre el cuerpo.
c) Ecuación de movimiento para r(t) y hallar la fuerza de vínculo de la masa con el alambre.
d) Posición de equilibrio en r.

El diagrama de cuerpo libre lo adjunte al lado de la figura del sistema. El peso en y, la fuerza elástica en r y la fuerza de vínculo perpendicular al alambre formando un ángulo de 45º con respecto a x e y.
La expresión de la fuerza elástica vendría a ser ${F}_{ el}=-K\left({x}^{ 2}+{y}^{2 } \right)^{1/2 }\hat{r}$.

Con la ecuación de movimiento en r y la fuerza de vínculo tengo problemas. Llego a $-\sin\theta mg + \cos\left(\frac{\pi}{ 4}-\theta \right){F}_{v }-Kr=m\left(\frac{d^2r}{dt^2 }-r\left( \frac{d\theta}{dt } \right)^2 \right)$. Más allá de que tengo dudas en como escribí Fv en r, no puedo trabajar con la ecuación porque theta no está definido entre los datos del problema. Quizá me estoy perdiendo de alguna relación trigonométrica para deshacerme de $\theta$ o de alguna forma de trabajar con la sumatoria de fuerzas en x e y, que es bastante sencilla...

Resolviéndolo de otra forma, con la ecuación de movimiento sobre el eje que coincide con la trayectoria de la masa en lugar de r, llego a que la fuerza de vínculo es una constante ${F}_{v}=\sin\frac{\pi}{4}\left( mg+KL\right)$. Tampoco sé si está bien, pero de todos modos tengo que resolverlo en r.

Alguna sugerencia? Gracias de antemano!

[felmon38]

Re: Oscilador en r

Yo utilizaría inicialmente coordenadas cartesianas y si hay que expresarlo en función de r y θ, utilizaría las relaciones:

r²=x²+(L-x)²

r²=y²+(L-y)²

tgθ=y/x

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Oscilador en r

hola te están pidiendo la evolución de la distancia r entre el origen y la masa m

$r =\sqrt{x^2+y^2}$

pero la barra te limita los valores posible entre x e y a como dice felmon

$y=L-x$

por lo que $r=\sqrt{x^2+(L-x)^2}$

y $\tan \theta = \dfrac {L-x}{x}$

si no hubiera gravedad el equilibrio se lograría en $\theta_o =\dfrac{\pi}{4}$

con [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y la posición de equilibrio es $x_o=\dfrac L2$ y $r_o=\frac{\sqrt 2}{2}L$

con gravedad la componente del peso en dirección normal a la barra se anula por las reacciones de los vínculos y solo la paralela a la barra se equilibra con la fuerza de estiramiento adicional del resorte.

$$mg\frac{\sqrt 2}{2}-Kr\sin (\frac{\pi}{4}-\theta_e)=0$$

donde siempre

$$\cos (\frac{\pi}{4}-\theta_e)=\dfrac{r_o}{r}$$

por ello la componente de la fuerza de vinculo en la dirección normal a la barra es constante pues r_o no varia.

entonces de 1 y 2

$$\tan (\frac{\pi}{4}-\theta_e)=mg\dfrac{\sqrt 2r}{2Kr_or}=\dfrac{mg}{KL}$$

de 2 sacas el radio en equilibrio $r_e=r$

da allí partes para la ecuación del movimiento

- - - Actualizado - - -

usando $\tan (\alpha \pm \beta)=\dfrac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \cdot \tan \beta}$


$\tan (\frac{\pi}{4}-\theta_e)=\dfrac {\tan \frac{\pi}{4}- \tan \theta_e }{1+ \tan \frac{\pi}{4} \cdot \tan \theta_e}$


$\tan (\frac{\pi}{4}-\theta_e)=\dfrac {1 - \tan \theta_e }{1+ \tan \theta_e}=\dfrac{mg}{KL}$


$\tan \theta_e=\dfrac {1 - \dfrac{mg}{KL}}{1+ \dfrac{mg}{KL}}=\dfrac{KL-mg}{KL+mg}$

[Visitante]

Re: Oscilador en r

Efectivamente pasé por alto $\tan(\frac{\pi}{4 })=1=\frac{x}{L-y}$, ya sólo con eso se destapó todo el ejercicio al utilizar $x=L-y \Rightarrow x''=-y''$. La ecuación de movimiento la expreso en función de $\theta$ y r, el resto de las consignas (Fv y req) puedo resolverlas con coordenadas cartesianas y listo.

Gracias!