1r ciclo Flecha que atraviesa rueda

[bruno_uy]

Hola, tengo lo siguiente:

Una rueda tiene 8 rayos y un radio de 30 centímetros. Está montada sobre un eje fijo y gira a razón de 2,5 rev/s. Usted quiere disparar una flecha de 24 cm de largo, paralela a este eje y a través de la rueda sin tocar ninguno de los rayos. Suponga que la flecha y los rayos son muy delgados.
(a) Qué velocidad mínima deberá tener la flecha?
(b) Importa a dónde apunta usted entre el eje y la llanta? De ser así, cual es la mejor ubicación?

Observo que:

$\displaystyle\frac{d\varphi}{dt }= \displaystyle\frac{2,5 (2\pi)}{1s } = 5 \pi$ rad/s

Luego:

$v = wR = 5 \pi R$ relación de módulos, siendo R no el radio de la rueda, sino la distancia desde donde pasa la flecha hasta el eje de rotación.


Son 8 rayos, por lo que $\displaystyle\frac{2 \pi}{8} = \displaystyle\frac{\pi}{4}$ es el ángulo barrido, y el $ds$ corresponde a: $ds = \displaystyle\frac{R}{\pi }$
Luego con esos datos y considerando que ese $ds$ es como si se desarrollara en una linea recta sobre la horizontal calculo el $dt$ y con ese $dt$ y el largo de la flecha calculo la velocidad que la misma debe traer.

Es correcto?

Ahora, tengo una duda, respecto a la parte (b) la velocidad depende del radio por lo que cuanto mas lejos del eje menos tiempo tiene la flecha para pasar. Verdad?

[Alriga]

Re: Flecha que atraviesa rueda

Yo lo veo así:
El caso más favorable para la flecha es que su punta llegue a la rueda justo al lado de un radio “por detrás” de éste, y su pluma posterior pase justo antes de que llegue el siguiente radio. Los radios están separados un ángulo de $\theta=2 \ \pi / 8$

$\omega=2.5 \cdot 2 \ \pi=5 \ \pi \ rad/s$

El tiempo entre el paso de 2 radios consecutivos es, (se considera cada radio de grosor despreciable):

$t=\dfrac{\theta}{\omega}=\dfrac{2 \ \pi / 8}{5 \ \pi}=0.05 \ s$

La velocidad a la que debe ir como mínimo la flecha para que su longitud completa se desplace en este tiempo es:

$v_f=\dfrac{L_f}{t}=\dfrac{0.24}{0.05}=4.8 \ m/s$

Esta es la velocidad mínima que debe tener la flecha para tener alguna oportunidad de pasar, y como se ve no depende ni del lugar que apuntes entre el centro de la rueda y el aro de la llanta ni tampoco del radio de la rueda.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Flecha que atraviesa rueda

Hola alriga la rueda tiene 8 rayos que suponemos equidistantes, entonces estarán distribuidos entre los $2\pi$ radianes de la circunferencia por lo que la angulo entre rayos es $\theta=\frac{\pi}{4}$ como dice bruno , por lo que el tiempo entre la pasada de rayo y rayo es el doble y la velocidad final es la mitad de lo que has calculado.

los únicos lugares que no podrías apuntar es el centro de la circunferencia y la circunferencia exterior.
si tienes que apuntar lo haces como dice alriga justo por detras de un rayo, eso te dara garantiza que lo puedas cruzar con la velocidad mínima es lo mismo que decir que debe pasar con un angulo $0<\phi<\frac{\pi}{4}$anticipado al rayo que debas evitar con $\phi=0$ le aciertas a un rayo, cuanto mas pequeño $\phi$ mas rapida deberá ser a flecha para atravesar toda su longitud en menor tiempo.

saludos

[Alriga]

Re: Flecha que atraviesa rueda

... Hola alriga la rueda tiene 8 rayos que suponemos equidistantes, entonces estarán distribuidos entre los $2\pi$ radianes de la circunferencia por lo que la angulo entre rayos es $\theta=\frac{\pi}{4}$ como dice bruno ...

¡Vaya lapsus! Había convertido una vuelta completa en $\pi$ en vez de $2 \pi$

Gracias por el aviso, ya lo he corregido y en el post se ve el resultado correcto, saludos.