1r ciclo Dinámica del cuerpo rígido en una polea

[JuanTara9705]

Considere el sistema que aparece en la figura. El cilindro y la polea (en forma de discos) son homogéneos y cada uno tiene masa M[kg] y radio R[m]. El bloque que cuelga tiene también masa 3M[kg] y el plano inclinado forma un ángulo θ con la horizontal. Si el cilindro rueda sin deslizar, la cuerda no desliza en la polea y el rozamiento en el eje de la polea se desprecia, determine:

a). La aceleración del bloque que cuelga.
b). Encuentre el mínimo coeficiente de rozamiento estático μ_s entre el cilindro y el plano, para que no se produzca deslizamiento.

Buen día por favor alguien de la comunidad podría ayudarme, no he podido dar con él.

[JCB]

Hola a tod@s.

La verdad es que me salen expresiones muy poco agraciadas, por decirlo suavemente.

$a=\dfrac{(24-4\sin\theta)g}{31}$,

$\mu_e>\dfrac{3+15\sin\theta}{31\cos\theta}$

Básicamente, he llegado a ellas aplicando $\sum{F}=ma$, para el bloque y el cilindro, y $\sum{M}=I\alpha$, para la polea y el cilindro.

¿ Dispones de las soluciones ?. En caso afirmativo, ¿ coinciden con las que he escrito ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[JuanTara9705]

No he podido solucionarlo, ya que no entendía como empezar y por las ecuaciones me genera ciertos desacuerdos.

[JCB]

Atención: así que pueda, reviso, corrijo error (no precisamente tipográfico), e indico desarrollo.

[JCB]

Hola a tod@s.

En la pregunta final de mi mensaje # 2, me refería a si dispones del solucionario. Ya veo que no. He revisado y corregido las expresiones iniciales. A continuación, desarrollo un poco más el tema.

1) Bloque. Llamo $T_1$ a la tensión de la cuerda que une el bloque con la polea.

$\sum{F}=ma$

$-T_1+3mg=3ma_b$

$$T_1=3mg-3ma_b$$

2) Polea. Como esta tiene masa (no es ideal), la tensión en cada lado es diferente. Llamo $T_2$ a la tensión de la cuerda que une la polea con el cilindro.

$\sum{M}=I\alpha$

$-T_2R+T_1R=\dfrac{1}{2}mR^2\dfrac{a_b}{R}$

$$T_2=T_1-\dfrac{1}{2}ma_b$$

3) Cilindro.

$\sum{F}=ma$

$$-mg\sin\theta+T_2+F_r=ma_c=m\dfrac{a_b}{2}$$

$\sum{M}=I\alpha$

$T_2R-F_rR=\dfrac{1}{2}mR^2\dfrac{a_b}{2R}$

$$F_r=T_2-\dfrac{1}{4}ma_b$$

Combinando estas cuatro ecuaciones, llego al resultado

$a_b=\dfrac{(24-4\sin\theta)g}{31}$

Obtengo el mínimo coeficiente de rozamiento estático para mantener la rodadura sin deslizamiento, planteando

$F_r<\mu_emg\cos\theta$

$\mu_e>\dfrac{3+15\sin\theta}{31\cos\theta}$

Si alguien advierte algún error, agradecería comentarios.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Coincido en el planteo y en el resultado.Saludos