1r ciclo Centro de masas de una lámina de acero

[JuanTara9705]

Una pieza homogénea de lámina de acero tiene la forma que se ve en la figura. Calcule las coordenadas del centro de masa de dicha pieza respecto a la esquina inferior izquierda del cuadrado.

De nuevo les vengo a pedir a la comunidad, si me ayudan o me pueden explicar este ejercicio. Muchas gracias a todos!!!

[Richard R Richard]

El centro de masas lo averiguas por un principio similar a la superposición, el CM del rectángulo supongo que sabes como ubicarlo, y el del disco tambien, tienes que suponer que la masa del disco es la masa de acero faltante, en vez de sumar los aportes de cada componente, aquí sumas el del acero, pero quitas el del orificio. luego la posición resulta de dividir la contribucion de cada figura sobre la masa total.

$Xcm_l m_l-Xcm_c m_c=Xcm_{firura}(m_l-m_c)$

$Xcm_{firura}=\dfrac{Xcm_l m_l-Xcm_c m_c}{m_l-m_c}$

$Ycm_l m_l-Ycm_c m_c=Ycm_{firura}(m_l-m_c)$

$Ycm_{firura}=\dfrac{Ycm_l m_l-Ycm_c m_c}{m_l-m_c}$

si el espesor es homogeneo la masa es igual a la densidad por el espesor por la superficie de la figura correspondiente

$m_l=\rho_leS_l=\rho_le(5a)^2$

$m_c=\rho_leS_c=\rho_le\pi a^2$

como la densidad $\rho$ y, el espesor $e$ aparecen en numerador y denominador se pueden simplificar y arribar a un resultado en función de la única medida $a$

[Alriga]

Hay que "restarle" al cuadrado de lado 5a el círculo de radio a (considerar que el círculo tiene masa negativa). Si el grosor de la lámina es constante, así como la densidad del material, podemos trabajar con áreas en vez de con masas:

$A_1=25a^2$

$\vec r_{cm1}=2.5 a \ \hat i+2.5 a \ \hat j$

$A_2=\pi a^2$

$\vec r_{cm2}=3 a \ \hat i+3 a \ \hat j$

Entonces hay de calcular:

$\vec r_{cm}=\dfrac {A_1 \vec r_{cm1} - A_2 \vec r_{cm2}}{A_1 - A_2}$

Te dejo para tí las operaciones, saludos.