1r ciclo Velocidad relativa I

[The Higgs Particle]

¿Está bien resuelto?

Un avión vuela a una velocidad de 250 km/h respecto al aire en reposo. Un viento sopla a 80 km/h en dirección 60º al este del norte
a) ¿En qué dirección debe volar el avión para que su rumbo sea norte?
b) ¿Cuál es la velocidad del avión respeto al suelo?

a) La componente horizontal de la velocidad del avión debe coincidir con la del viento para que no se desvíe a lo largo del eje X:

$v_x(a) = v_x(v) \to v_a \sin(\phi) = v_v \sin(\alpha) \to \phi = \dst \arcsin\left( \frac{v_v \sin(\alpha)}{v_a} \right) \to \boxed{\alpha = 16.09 \º}$

b) La velocidad del avión respecto al suelo es la que llevaba inicialmente más la del viento sobre el que se mueve:

$\vec v_t = \vec{v_a} + \vec{v_v} = (v_a \sin(\phi) + v_v \sin(\alpha)) \hat{\imath} + (v_a \cos(\phi) + v_v \cos(\alpha)) \hat{\jmath}$

De forma que:

$v_t = \sqrt{(v_a \sin(\phi) + v_v \sin(\alpha))^2 + (v_a \cos(\phi) + v_v \cos(\alpha))^2$

De donde:

$\boxed{v_t = 312.6 (km/h)}$

[Alriga]

Re: Velocidad relativa I

Yo lo veo así:

a=avión
v=viento
s=suelo

$\vec v_{as}=0 \ \vec i + V \ \vec j=V \ \vec j$

En donde el módulo de la velocidad del avión respecto del suelo $V$ es desconocido.

$\vec v_{as}=\vec v_{av}+ \vec v_{vs}$

$\vec v_{as}=(250 \cos \phi \ \vec i+ 250 \sin \phi \ \vec j)+(80 \cos 30\º \ \vec i+80 \sin 30\º \ \vec j)$

Igualando componentes de los vectores:

$$250 \cos \phi+80 \cos 30\º=0$$

$$250 \sin \phi +80 \sin 30\º=V$$

De la ecuación (1) obtenemos el ángulo eligiendo la solución del segundo cuadrante, y sustituyendo en la (2) obtenemos el módulo. Obtengo:

$\phi=106.09\º$

$V = 280.21 \ km/h$

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Velocidad relativa I

$\phi=106.09\º$

Vaya! A mí me sale $\phi = 16.09 \º$, pero claro, hay que sumarle $90 \º$, por eso me salía diferente...
Muchas gracias!

- - - Actualizado - - -

Y otra cosa, sobre el por qué no me sale la velocidad final. Si lo entiendo bien, visto desde el suelo, el avión sólo se desplaza hacia el norte (+ $\vec j$); y tan y como está puesto el dibujo, deberían ser las ecuaciones que incluyen el seno las que está igualadas a cero, ¿no?

[Alriga]

Re: Velocidad relativa I

Y otra cosa, sobre el por qué no me sale la velocidad final. Si lo entiendo bien, visto desde el suelo, el avión sólo se desplaza hacia el norte (+ $\vec j$); y tan y como está puesto el dibujo, deberían ser las ecuaciones que incluyen el seno las que está igualadas a cero, ¿no?

Precisamente para evitar líos y errores lo mejor es usar la convención habitual del álgebra vectorial, en la que todos los argumentos de los vectores se toman con origen en el eje X positivo y en sentido antihorario. Si compruebas mi resultado sumando los dos vectores que da el enunciado, verás que la solución dada es la correcta:

$\vec v_{as}=(250 \cos 106.09\º \ \vec i+ 250 \sin 106.09\º \ \vec j) + (80 \cos 30\º \ \vec i+80 \sin 30\º \ \vec j)=0 \ \vec i+280.21 \ \vec j$

Y NO se obtiene

$\cancel{0 \ \vec i+312.6 \ \vec j}$

Saludos.