problema dinámica

[Jclucass]

Los cuerpos de masa m1, m2 y m3 se encuentran sobre la superficie horizontal lisa de una mesa de modo que un cuerpo de masa m1 está sobre el cuerpo de masa m3 y está conectado con el cuerpo de masa m2 por un hilo colocado a una polea fija sobre el cuerpo de masa m3 . El cuerpo de masa m2 se mantiene a una altura h por encima de la superficie de la mesa. Si se suelta, el sistema como un todo comienza a moverse. El coeficiente de fricción entre los cuerpos es µ. La fricción con la polea y su masa son despreciables y también es despreciable la fricción entre la mesa y el cuerpo que reposa sobre ella. También es despreciable la fricción entre la mesa y la masa m3. Determinar:
a) La aceleración del sistema
b) La tensión de la cuerda
c) La distancia que recorrerá el cuerpo de masa m3 cuando el cuerpo de masa m2 toque la superficie de la mesa


Yo lo que he hecho es estudio por dinámica cuerpo a cuerpo

Cuerpo 1

T - F_r = m₁ a

Cuerpo 2

P₂ - T = m₂ a

Cuerpo 3

F_r = m₃ a

¿Lo tengo bien planteado?

[Al2000]

Creo que se puede aceptar que las aceleraciones de los cuerpos 1 y 2 sean iguales en módulo, la una hacia la derecha y la otra hacia abajo. En este caso la condición de ligadura es tan simple que puedes tomar ese atajo con facilidad. Pero no veo tan simple ni tan inmediato que asumas que las aceleraciones de los cuerpos 1 y 3 son iguales en magnitud... ¿En qué te basas para decir eso?

El problema planteado, cuando asumes que no hay fricción con el suelo, es mucho más complicado de lo que puede pretender el enunciado. Si todas las fuerzas horizontales son internas, entonces la posición del centro de masa del sistema no debe cambiar. Eso implica que si el cuerpo 1 se mueve hacia la derecha, el cuerpo 3 se moverá hacia la izquierda. La fuerza horizontal que aplica el soporte de la polea es la que causa ese movimiento.

Por otra parte, ¿cómo se mueve el cuerpo 2? El dibujo pareciera implicar que se mueve verticalmente, pero si el cuerpo 3 se mueve hacia la izquierda, entonces el cuerpo 2 no puede bajar verticalmente.

Yo desde que leí la pregunta de aceleración del sistema entendí que es un problema mal planteado

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Observa que la polea esta unida a la masa 3 , la polea acelera con la masa 3 , por lo que la $m_1$ acelera debido a la tensión menos el rozamiento,

$T-F_r=m_1 a_1$

el cuerpo dos cuelga del tres por lo que su aceleración en $y$ es la que tu escribiste

$m_2g-T=m_2a_y$

pero la fuerza de rozamiento impulsara tanto a $m_3$ como a $m_2$ pero la tensión esta saliendo desde la polea

$\cancel{F_r-T=(m_2+m_3)a_3}$

es decir $a_{2x}=a_3$

la aceleración de la masa 2 tiene dos componentes $(a_{2x},a_{2y})$

además sabemos que

$F_r=\mu m_1g$

y

$\cancel{a_{2y}=a_1-a_3)}$

en en cuenta que $a_3$ en este sistema de referencia resulta negativa

el sistema esta acelerado en la dirección $y$ la cual es compensada por la normal del cuerpo 3 así que no acelera en las y solo baja su centro de masa, y en la dirección $x$ tampoco acelera su CM permanece en la misma posición ya que la aceleración de m_1 es compensada por la aceleración de $m_2$ y $m_3$ en sentido opuesto.

4 ojos ven más que 2 así que todo aporte es bienvenido.

Editado Saludos Al2000 no leí tu respuesta previo a postear..


Releyendo tus palabras no veo forma en que se cumpla mi tercer ecuación, la cuerda debe quedar con un angulo respecto de la vertical

$<br /> -T\sin\theta =m_2 a_{2x}<br />$

$<br /> T\cos\theta-m_2g=m_2a_{2y}$


mi ecuación 3 queda entonces

$F_r-T+T\sin\theta=m_3a_3$

que opinas, todavía no la veo pulida.

[Jclucass]

Había supuesto la aceleración igual porque pedían la aceleración del sistema y creía que debían de ser iguales, pero eso me resultaba muy raro
Lo he resulto así:
Cuerpo 1

T - Fr = m₁. a₁
N₁ = P₁
Cuerpo 2

P₂- T = m₂. a₂
Cuerpo 3

Fr = m₃. a₃
a₁= a₂
Así me sale todo un poco mas coherente, creo
$a = \frac{m_{2}g-\mu m_{1}g}{m_{1}+m_{2}}$

$a_{3}= \frac{\mu m_{1}g}{m_{3}}$

$T = \frac{m_{1}m_{2}g-\mu m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}$

Muchas gracias a los dos.

[Richard R Richard]

Revisa en el cuerpo 2 la tensión no solo tiene tensión en el sentido vertical sino horizontal por moverse el cuerpo 3, y el cuerpo 3 recibe la misma componente pero en sentido inverso, además recibe la tensión debido al cuerpo 1

[Jclucass]

He visto un ejercicio similar en el Typler y la aceleración del sistema lo llama al conjunto de m₁ y m₂ . Yo creo que es una mala traducción, después lo resuelve parecido a lo que he hecho
Pero no me quedo conforme. ¿Qué opináis?

[JCB]

Hola a tod@s.

Como escribe Al2000, creo también que el ejercicio no es muy afortunado, y debe suponerse que $m_2$ desciende verticalmente. Para facilitar el asunto, $m_2$ debería estar en contacto con $m_3$, y no haber rozamiento entre ellas. De esta manera,

1) $\sum{F}=m_1a$

$T-F_r=m_1a$

$T=m_1a+F_r$

$$T=m_1a+\mu_dm_1g$$

2) $\sum{F}=m_2a$

$-T+m_2g=m_2a$. Sustituyendo (1),

$$a=\dfrac{m_2g-\mu_dm_1g}{m_1+m_2}$$

Sustituyendo (2) en (1),

$T=\dfrac{m_1m_2g+\mu_dm_1m_2g}{m_1+m_2}=\dfrac{(1+\mu_d)m_1m_2g}{m_1+m_2}$

3) $\sum{F}=m_3a_3$

$F_r=m_3a_3$

$a_3=\dfrac{\mu_dm_1g}{m_3}$

Editado para añadir: en este punto 3), ahora me asalta la incertidumbre de que si $m_2$ permanece solidaria a $m_3$, se mueve con su misma aceleración horizontal, con lo que, recapitulando

$\sum{F}=(m_3+m_2)a_3$

$a_3=\dfrac{\mu_dm_1g}{m_3+m_2}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Archimboldi]

¡Hola! Muchas gracias por las respuestas. A mí me queda una duda. ¿Por qué asumís que las aceleraciones de $m_1$ y $m_2$ son iguales? Quiero decir: $m_2$, al estar unido a $m_3$ por la polea, necesariamente va a sufrir una aceleración en sentido horizontal, lo que nos obligaría a descomponer las aceleraciones en $x$ y en $y$ para resolver el problema, ¿no? En este enlace hay un problema parecido (sin rozamiento entre $m_1$ y $m_3$ pero idéntico por lo demás) en el que en una de las respuestas (se genera un debate muy largo) se plantea el siguiente esquema:

Eso claramente aceleraría nuestro $m_2$ horizontalmente, ¿no?

Disculpad que me meta, pero me ha parecido un ejercicio muy interesante y no termina de quedarme claro. ¡Un saludo!

[Richard R Richard]

¡Hola! Muchas gracias por las respuestas. A mí me queda una duda. ¿Por qué asumís que las aceleraciones de $m_1$ y $m_2$ son iguales? Quiero decir: $m_2$, al estar unido a $m_3$ por la polea, necesariamente va a sufrir una aceleración en sentido horizontal, lo que nos obligaría a descomponer las aceleraciones en $x$ y en $y$ para resolver el problema, ¿no? En este enlace hay un problema parecido (sin rozamiento entre $m_1$ y $m_3$ pero idéntico por lo demás) en el que en una de las respuestas (se genera un debate muy largo) se plantea el siguiente esquema:

Eso claramente aceleraría nuestro $m_2$ horizontalmente, ¿no?

Disculpad que me meta, pero me ha parecido un ejercicio muy interesante y no termina de quedarme claro. ¡Un saludo!

Así es como lo he planteado yo en el mensaje #3, las tres aceleraciones son distintas de algún modo, pero el modulo de la aceleracion de m_1 y de m_2 debe ser igual, pero tienen direcciones distintas, sino fuese así la cuerda se estiraría o se encogería, cosa que sabemos no debe suceder en la practica.

Por otro lado fíjate que como el sistema no tiene fuerzas externas, el centro de masas debe permanecer en la misma coordenada x, así que debe cumplirse

$m_3a_3+m_2a_{2x}+m_1a_1=0$

La energía cinetica que adquieren los tres cuerpos, mas el trabajo de la fuerza de rozamiento, debe ser igual a la variación de energía potencial de m2 en cualquier altura, como las aceleraciones son constantes tambien se pueden averiguar los desplazamientos El tema es que la longitud de hilo inclinada, no es igual a la altura descendida.

Ten en cuenta que tanto la tensión como el ángulo de la cuerda respecto de la vertical son variables a lo largo de la caída.


Saludos