Gravímetro Dinámico

[jaquecusto]

Proponemos un nuevo gravímetro, basado en el "Watt Centrifugal Governor", también conocido comot Regulator de Watt.

El regulador de Watt mejorado NO tiene resortes. En cada esfera se instala un cañón LÁSER, alineado con el eje de cada brazo del regulador.

El modelo de gravímetro propuesto compara directamente la velocidad y la aceleración, como se muestra a continuación:



En la base del regulador (en gris) hay una pantalla de material rígido, tangente al Planeta Tierra (en naranja), sobre la que cada rayo LÁSER proyecta una mancha brillante

En el momento en que el regulador comienza a girar, las esferas se separan. La velocidad angular del regulador es constante.

En el momento en que el sistema se equilibre, se formará un rastro circular brillante en la pantalla tangente a la Tierra.

Luego, se toman dos medidas:

- Mida el radio del círculo brillante a la altura más pequeña del regulador;
- Mueva el regulador a un punto más alto;
- Mida de nuevo el radio del círculo brillante.

Si Newton tiene razón, la diferencia entre los radios de los círculos luminosos será un poco mayor de lo esperado, porque en la posición más alta el tirón de la gravedad sobre las esferas giratorias es menor.

[Richard R Richard]

Todo correcto, cual es la duda ?

[jaquecusto]

¡Gracias, Richard!

Corrígeme si estoy equivocado.

Se sabe que los péndulos simples oscilan más lentamente en las cimas de las montañas que en la base de ellas, al igual que los relojes atómicos aceleran el conteo a medida que aumentan de altitud sobre el nivel del mar.

Veo en estos dos ejemplos un conflicto conceptual, ya que tanto los péndulos como los relojes atómicos sufren la acción de la gravedad en igualdad de condiciones.

[Richard R Richard]

Se sabe que los péndulos simples oscilan más lentamente en las cimas de las montañas que en la base de ellas,

Hola correcto., la aceleracion de la gravedad cae con la altura que te alejes de la superficie, es función directa de l cuadrado de la inversa del radio, mas te alejas mas rápido cae. esto se explica en mecánica Newtoniana con

$T=2\pi \sqrt{\dfrac Lg}$

como $g=\dfrac{GM_T}{(R_T+h)^2}$

y haces el reemplazo

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{L(R_T+h)^2}{GM_T}}$

se observa que a medida que aumenta la altura h el periodo de oscilación es mayor

al igual que los relojes atómicos aceleran el conteo a medida que aumentan de altitud sobre el nivel del mar.

Esto lo explica la relatividad general, en las regiones de mayor curvatura (mas gravedad) los relojes andan mas rápido, si no me equivoco. Es por eso que los Satélites GPS tienen los relojes internos modificados para compensar tanto el efecto de la velocidad relativa respecto de tierra como el de la gravedad.

Veo en estos dos ejemplos un conflicto conceptual, ya que tanto los péndulos como los relojes atómicos sufren la acción de la gravedad en igualdad de condiciones.

Ambos tipos de relojes funcionan mas rápido cerca de la superficie de la tierra, no hay conflicto en ello, una teoría es mas precisa que la otra a la hora de predecir y medir esos periodos. explicación mas adelante

[jaquecusto]

Mi duda proviene de un texto en un sitio web muy popular aquí en Brasil:

"Los relojes atómicos miden la altitud en función de la gravedad

Lo que hay detrás de esto es la Teoría General de la Relatividad de Einstein, más concretamente el llamado corrimiento al rojo gravitacional, el mismo que se utiliza para detectar la aceleración de la expansión del Universo y medir las distancias de estrellas y galaxias.

Si un reloj se mueve un poco más lejos de la Tierra, el tiempo que mide comienza a pasar un poco más rápido."

El texto original en portugués (fácilmente traducible al español) se muestra a continuación:
https://www.inovacaotecnologica.com....3#.Yb28GMnMK1v

La oración antes mencionada deja lugar a malas interpretaciones:

"Si un reloj se mueve un poco más lejos de la Tierra, el tiempo que mide comienza a pasar un poco más rápido"
Después de todo, ¿un reloj que está en el suelo de la Tierra corre más rápido o más lento que un reloj que está a gran altura?

[Richard R Richard]

Hola,estuve leyendo un poco, prefiero reescribir lo antedicho, en vez de hacer aclaraciones.


El principio de equivalencia nos hace ver que estar sometidos a un campo gravitatorio, es lo mismo que estar en una nave acelerando, por eso los relojes en la cabeza de la nave se ven correr mas rápido desde el fondo , que uno que este en el propio fondo y los relojes del fondo se ven mas lentos desde la cabeza, que uno ubicado en la cabeza.
Esta analogía aplicada al campo gravitatorio, se traduce del siguiente modo, si se colocan dos relojes iguales a distinta altura, el reloj a más altura correrá más rápido que el más bajo,visto desde abajo, y a la altura del reloj más alto, será el reloj de abajo, el que se vera funcionar más lento, es decir lo que expresan los texto esta escrito tomando el corre del tiempo en el marco de referencia local.

"Si un reloj se mueve un poco más lejos de la Tierra, el tiempo que mide comienza a pasar un poco más rápido"

Entonces esa frase significa que el reloj en altura tiene los tictacs mas cortos que uno sobre la superficie de la tierra, donde tu haces la comparación.

Después de todo, ¿un reloj que está en el suelo de la Tierra corre más rápido o más lento que un reloj que está a gran altura?

corre mas lento un reloj sobre la superficie de la tierra que el mismo reloj a mas altura.

Bueno pero entendamos otra cosa este efecto es debido al valor de la aceleración de la gravedad en el corrimiento al rojo gravitacional, y otra la disminución del periodo del péndulo en función de la altura.

Veamos si colocamos un péndulo a una distancio $2R_T$ radios de la tierra respecto del centro de esta el periodo de oscilación es el doble que sobre la superficie solo a 1 radio. pero el efecto de corrimiento al rojo o dilatación temporal debido a esa misma diferencia de altura es muy pequeño,

$T_{2R_T}=2\pi \sqrt{\dfrac{L(R_T+R_T)^2}{GM_T}}$

$T_{R_T}=2\pi \sqrt{\dfrac{L(R_T)^2}{GM_T}}$

$T_{2R_T}=2T_{R_T}$

$\dfrac{T_{2R_T}}{T_{R_T}}=2$

pero segun RG

$T=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{Rc^2}}}$

donde $T_0$ es periodo de tiempo de una oscilación o tictac del reloj en un marco local teorico sin gravedad

$T$ sería el tiempo medido por un observador a la altura $R$

sobre la superficie de la tierra el retraso es

$T_s=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{R_Tc^2}}}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{2gR_T}{c^2}}}$

y al doble de distancia del centro de la tierra

$T_h=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{2R_Tc^2}}}$

$\dfrac{T_{2R_T}}{T_{R_T}}=\dfrac{T_h}{T_s}=\dfrac{\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{2R_Tc^2}}}}{\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{R_Tc^2}}}}=$

$\dfrac{T_{2R_T}}{T_{R_T}}=\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{R_Tc^2}}}{\sqrt{1-\dfrac{2GM}{2R_Tc^2}}}$

con

$G=\notcien{6.67}{-11}N^2m^2/kg$

$M_T=\notcien{5.972}{24}kg$

$c=299798452m/s$

$R_T=6371000m$

calculamos

$\dfrac{T_{2R_T}}{T_{R_T}}=\dfrac{\sqrt{1-\notcien{1.391}{-9}}}{\sqrt{1-\dfrac{\notcien{1.391}{-9}}{2}}}$

$\dfrac{T_{2R_T}}{T_{R_T}}=\dfrac{0,99999999930436847408817189477358}{0,99999999965218423710457384988813}=0,99999999965218423686262223988277$

osea, si el periodo de oscilación newtoniano del péndulo es dos veces el de la superficie cuando esta al doble de altura respecto del centro , un observador en la superficie lo verá a su vez 0,99999999965218423686262223988277 veces mas corto...

$T_{pend \ 2R_T}=2T_{pend \ R_T}\cdot 0,99999999965218423686262223988277=1,9999999993043684737252444797655T_{pend \ R_T}$ veces el de la tierra


Se ve claramente que el aumento del periodo del péndulo, por descender la gravedad , no es lo mismo que efecto relativista de la dilatación temporal entre ambas alturas, son fenómenos completamente diferentes e incomparables.

[jaquecusto]

¡ Gracias, Richard, por tu dedicación y compromiso !


Mi malentendido sobre el funcionamiento de los péndulos se debe a los resultados de la investigación de los satélites GRACE y GOCE.

A continuación, la dirección de una ilustración del estudio gravitacional de satélites:

http://www2.csr.utexas.edu/grace/gra...5/ggm05-04.png

Se percibe claramente, al menos en la Cordillera de los Andes, que las partes más altas tienen una mayor gravedad.

fuente:
http://www2.csr.utexas.edu/grace/gravity/

Cuando imaginé el gravímetro en rotación, me pareció interesante poder comparar directamente la masa de las esferas con la masa de la Tierra y la aceleración centrípeta del gravímetro con la aceleración de la Tierra, es decir, medidas tomadas directamente, sin el uso de resortes, aunque el péndulo también lo hace de manera indirecta.

[Richard R Richard]

El equilibrio entre la gravedad y la fuerza centrípeta lo tienes haciendo

$mg=T \cos\theta$

$T\sin\alpha=m\omega^2L \sin\alpha$

de esto

$g=\omega^2L\cos\alpha$

por proporcionalidad de triangulos

$\dfrac{r_1}{h_1}=\tan\alpha_1$


$\dfrac{r_2}{h_2}=\tan\alpha_2$

Si la gravedad no variara con la altura se cumpliría que

$$\Delta r=r_2-r_1=\tan \alpha(h_2-h_1)$$

pero como los ángulos varían porque la gravedad varia con la altura

$\Delta r=\tan\alpha_2 h_2-\tan\alpha_1 h_1$

fijate que el resultado es independiente del valor de las masas $m$ de las esferas, solo depende de la gravedad del lugar, y de parametros de diseño dek experimento como $\omega$ y $\delta h$

$\Delta r=\dfrac{\sin\alpha_2 h_2\omega^2L}{g_{(h_2)}}-\dfrac{\sin\alpha_1 h_1\omega^2L}{g_{(h_1)}}$

si la gravedad es constante con la altura esta ultima ecuación se convierte en la ecuación de g cte

por otro lado la gravedad aumenta cuando hay placas densas de corteza expuestas a baja profundidad en la corteza, por lo general en los bordes de las placas tectónicas, la cordillera es una referencia valida sobre ello.

Si con el experimento logras probar que la grafica $\Delta h$ vs$\Delta r$ no tiene pendiente constante habrás probado que la gravedad varia con la altura.

[jaquecusto]

Se pueden obtener dos conclusiones más interesantes del comportamiento del gravímetro dinámico.



La forma en que el gravímetro dinámico "sube", es decir: se aleja del centro de la Tierra, la atracción gravitacional disminuye y los brazos de este dispositivo tienden a alejarse.

En esta situación, el efecto Coriolis hace que la velocidad angular disminuya de modo que la suma de la energía cinética decreciente y la energía potencial creciente permanezca constante.

La forma en que el gravímetro dinámico "desciende", es decir: se acerca al centro de la Tierra,
la atracción gravitacional aumenta y los brazos de este dispositivo tienden a acercarse.

En esta nueva situación, el efecto Coriolis hace que aumente la velocidad angular, de modo que la suma de la energía cinética creciente y la energía potencial decreciente permanece constante.

Por lo tanto, el gravímetro dinámico no solo puede indicar cambios gravitacionales proyectando el rayo LÁSER sobre la base, sino también a través de la variación de su velocidad angular.

[Richard R Richard]

Hola el efecto Coriolis , es observable en un SR no inercial solidario a una de las masas de gravimetro, pero esa no es la causa del incremento o decremento de la aceleración angular,aquí no tiene nada que ver, en realidad es consecuencia de la conservación del momento angular y de la energía.

[jaquecusto]

¡Gracias, Richard!

Afirmo que el gravímetro dinámico puede indicar variaciones en la aceleración a través del efecto Coriolis.

Digamos que el gravímetro dinámico está instalado dentro de un ascensor estacionario.
En la situación inicial, el ángulo entre los brazos del gravímetro es igual a 60 grados, por ejemplo.

Si el elevador asciende a una velocidad acelerada, los brazos del gravímetro se acercarán, por lo que se espera un aumento en la velocidad angular.

Si en lugar de subir, el elevador cae en caída libre, los brazos dinámicos del gravímetro quedarán temporalmente ingrávidos. De esta forma, el ángulo entre los brazos del gravímetro cambiará a 180 grados y la velocidad angular disminuirá.

[Richard R Richard]

Coriolis no es una fuerza ni aceleración real, es ficticia, o bien una pseudo fuerza
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3...al_de_Coriolis

https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Coriolis

Los equilibrios dinámicos pueden explicarse en cualquier sistema de referencia ,si es inercial con fuerzas reales, si el marco es no inercial aparecerán fuerzas ficticias como la que indicas, la de Coriolis, pero la causa no puede ser nunca una fuerza ficticia. Los efectos observados en estos marcos de referencia no inerciales son explicados con la aparición de pseudofuerzas, que justamente no existen en marcos inerciales, Solo las fuerzas reales pueden ser causa y son las que nos sirven para explicar la dinámica y cinemática de los cuerpos en cualquier marco de referencia inercial.

[jaquecusto]

¡Feliz Navidad a todos!

Veamos las tres condiciones en la siguiente figura:



- La primera situación muestra que el regulador centrífugo de Watt simplificado se detuvo.

- La segunda situación muestra el regulador en movimiento angular. Intuitivamente, sabemos que cuanto mayor es la velocidad angular, mayor es la "fuerza centrífuga", por lo que los brazos estarán más cerca de la posición horizontal. Imaginamos erróneamente que el peso resultante en la base del regulador disminuirá ya que las bolas de acero están virtualmente "sostenidas por nada".

- La tercera situación muestra un regulador modificado, en el que las bolas de acero se intercambian por pivotes, que se acoplan a dos placas de plomo, a su vez apoyadas sobre rodillos, que reducen el rozamiento de movimiento de dichas placas con relación al suelo.

Si se aplican fuerzas opuestas a las placas de plomo, "imitarán la fuerza centrífuga" de las bolas de acero en el segundo ejemplo. Pero vemos claramente que esta nueva situación da lugar a una fuerza neta dirigida al suelo, más precisamente al centro de la Tierra. Por lo tanto, el regulador centrífugo no puede perder peso cuando sus brazos están girando.

Este simple experimento mental se abre para cuestionar si, de hecho, la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia, además de exponer extrañas "relaciones cósmicas" entre los objetos del experimento.

[JCB]

Hola a tod@s.

Centrándome en la situación II de la figura del mensaje # 13, las ecuaciones de la Dinámica para cada masa son:

$\sum{F_x}=ma_x$. Llamando $\theta$ al ángulo que forman los brazos con la vertical,

$T\sin\theta=m\dfrac{v^2}{r}$

$T\dfrac{r}{l}=m\dfrac{\omega^2r^2}{r}$

$$T=m\omega^2l$$

$\sum{F_y}=0$

$T\cos\theta-mg=0$

Sustituyendo (1),

$\cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2l}$

Si ahora analizamos el punto de sujeción de los dos brazos con el mástil vertical,

$\sum{F_y}=0$

$R-2T\cos\theta=0$

$R=2T\cos\theta=2mg$. $R$ tiene dirección vertical y sentido hacia arriba.

Nota: quizás no haya sido muy afortunado emplear la letra $R$ para la reacción en el punto de sujeción de los dos brazos. En cualquier caso, la reacción $R$ es igual en módulo, a la resultante de las tensiones en los dos brazos, pero con sentido contrario. También entiendo que los brazos (antes había escrito hilos) son de peso despreciable frente al peso de las dos masas.

Saludos cordiales,
JCB.

[jaquecusto]

Hola a tod@s.


Si ahora analizamos el punto de sujeción de los dos brazos con el mástil vertical,

$\sum{F_y}=0$

$R-2T\cos\theta=0$

$R=2T\cos\theta=2mg$. $R$ tiene dirección vertical y sentido hacia arriba.

Nota: quizás no haya sido muy afortunado emplear la letra $R$ para la reacción en el punto de sujeción de los dos brazos. En cualquier caso, la reacción $R$ es igual en módulo, a la resultante de las tensiones en los dos brazos, pero con sentido contrario. También entiendo que los brazos (antes había escrito hilos) son de peso despreciable frente al peso de las dos masas.

Saludos cordiales,
JCB.

¡Gracias, JCB!


Disculpe, pero tengo dificultades para interpretar el significado físico del lenguaje matemático contenido en las ecuaciones que me presentó.



Según la situación II, la reacción de "fuerza centrífuga" en los brazos del regulador centrífugo apunta "hacia arriba".
Estoy en lo cierto?

Explícame porfavor, por qué todo el conjunto no pierde peso cuando el regulador está en marcha circular.