1r ciclo Rollo de papel, dinámica de la rotación.

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Un rollo de papel que inicialmente tiene masa $M_o$ y radio $R_o$ descansa contra la pared sostenido por un soporte que está unido a una varilla que pasa por su centro.


Inicialmente el extremo del soporte está unido a la pared mediante una bisagra sin fricción de modo tal que forma un ángulo de 30° con la pared. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el papel y la pared es $\mu_k = 0.25$ El soporte y la varilla son de masa despreciable. Se ejerce una fuerza $F = \displaystyle\frac{1}{2} M_o g$, tangencial hacia abajo, para desenrollar el papel.

(a) Cuál es en el instante inicial la aceleración angular $\alpha_o$ del rollo?

(b) ahora el cilindro contiene la mitad del papel que contenía en la parte anterior, se le aplica la misma fuerza $F = \displaystyle\frac{1}{2} M_o g$ cual es la aceleración angular $\alpha_1$ que esta fuerza le impone al nuevo rollo?


Considero que actúan la Fuerza de rozamiento, la fuerza que ejerce la varilla y el peso, sumado una fuerza neta nula, ya que cinemáticamente hay reposo. Estimo que es sólo un movimiento de rotación pura.

Y tomo un sistema de referencia con origen en el centro del circulo y sentido positivo hacia abajo y hacia la derecha.

Tengo dudas con el sentido de la fuerza de rozamiento dinámico si no me equivoco se opondría al movimiento relativo, pero aquí hay deslizamiento entre el punto de contacto del rollo y la pared? o sería una rodadura?
Calculo que lo hay sí, y la Froz iría hacia abajo?
Ejerce un torque de frenado?

Los ejercicio que he hecho hasta el momento fueron de rodadura sin deslizamiento, no estoy muy claro con este.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Rollo de papel, dinámica de la rotación.

Considero que actúan la Fuerza de rozamiento, la fuerza que ejerce la varilla y el peso, sumado una fuerza neta nula, ya que cinemáticamente hay reposo. Estimo que es sólo un movimiento de rotación pura.

Y tomo un sistema de referencia con origen en el centro del circulo y sentido positivo hacia abajo y hacia la derecha.

Plantea la sumatoria de fuerzas en ambos ejes vertical y horizontal y de momentos , averigua cuanto vale la normal, luego multiplicada por el coef de rozamiento te dara la fuerza que se opone al giro.

Tengo dudas con el sentido de la fuerza de rozamiento dinámico si no me equivoco se opondría al movimiento relativo, pero aquí hay deslizamiento entre el punto de contacto del rollo y la pared?.....

Calculo que lo hay sí, y la Froz iría hacia abajo?

la fuerza se opone siempre al sentido del movimiento si el rollo contra la pared asciende, el rozamiento tiene sentido descendiente.

o sería una rodadura?

No

Ejerce un torque de frenado?

Si

[JCB]

Hola a tod@s.

Siguiendo el camino que en su día trazó Richard, paso a mostrar el resultado que he obtenido. Como la varilla está doblemente articulada, la tensión es colineal con el eje de la varilla.

1) $\sum{F_x}=0$,

$-T\sin\theta+N=0$,

$$N=T\sin\theta$$

2) $\sum{F_y}=0$,

$-F_r-mg+T\cos\theta-F=0$,

$-\mu_kT\sin\theta-mg+T\cos\theta-F=0$,

$$T=\dfrac{mg+F}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}$$

3) $\sum{M_G}=I_G\alpha$,

$-F_rR+FR=\dfrac{1}{2}mR^2\alpha$,

$$\alpha=\dfrac{2(F-\mu_kT\sin\theta)}{mR}$$

Finalmente,

$\alpha=\left(1-\dfrac{3}{4\sqrt{3}-1}\right)\dfrac{g}{R}\approx{0,494}\dfrac{g}{R}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Para el apartado b), considero que si el peso del rollo de papel se reduce a la mitad, el radio se reduce a $R'=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$. El ángulo que forma la varilla con el eje vertical, disminuye de la manera siguiente:

Inicialmente, $\sin30^{\circ}=\dfrac{R}{L}$, siendo $L$ la longitud de la varilla.

En la situación del apartado b), con $R'=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta'=\dfrac{R'}{L}=\dfrac{R/\sqrt{2}}{L}=\dfrac{\sin30^{\circ}}{\sqrt{2}}$,

$\theta'=\arcsin\left({\dfrac{\sin30^{\circ}}{\sqrt{2}}}\right)=20,70^{\circ}$.

Recordando la expresión (2), y como el peso del rollo es la mitad,

$T=\dfrac{\dfrac{mg}{2}+F}{\cos\theta’-\mu_k\sin\theta’}=\dfrac{mg}{\cos\theta’-\mu_k\sin\theta’}$. También $N=T\sin\theta’$, y $F_r=\mu_kN$.

Aplicando $\sum{M_G}=I_G\alpha$,

$-F_r\dfrac{R}{\sqrt{2}}+F\dfrac{R}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{R}{\sqrt{2}}\right)^2\alpha$,

$\alpha=\dfrac{\sqrt{32}(F-F_r)}{mR}=\left(\dfrac{\sqrt{32}}{2}-\dfrac{\sqrt{32}\mu_k\sin\theta’}{\cos\theta’-\mu_k\sin\theta’}\right)\dfrac{g}{R}\approx{2,2381}\dfrac{g}{R}$.

Saludos cordiales,
JCB.