Problema si se modifica ligeramente la Ley de Gravitación Universal

[kerosect]

Buenas a todos.

El problema plantea que consecuencias tendría que la Ley de Gravitación Universal fuera distinta. Tal que:

$F=G\frac{Mm}{R^{2+ \varepsilon}}$

Con $\varepsilon$ un valor positivo y muy pequeño.

Entiendo que momento angular de un planeta en movimiento alrededor del Sol sí se conservaría. Ahora bien, no estoy muy seguro de la modificación del tipo de órbitas.

Muchas gracias de antemano

[Richard R Richard]

Buenas a todos.

El problema plantea que consecuencias tendría que la Ley de Gravitación Universal fuera distinta. Tal que:

$F=G\frac{Mm}{R^{2+ \varepsilon}}$

Con $\varepsilon$ un valor positivo y muy pequeño.

Entiendo que momento angular de un planeta en movimiento alrededor del Sol sí se conservaría. Ahora bien, no estoy muy seguro de la modificación del tipo de órbitas.

Eso es lo que proponen algunas teorías de la gravedad newtoniana modificada o MOND , estas son teorías alternativas a la relatividad de Einstein, y la consecuencia mas obvia es que se necesita mayor velocidad tangencial para mantener un equilibrio de fuerzas en las orbitas de estrellas alrededor del núcleo galáctico, las galaxias tendrían mayor velocidad angular que lo que pronostica la teoría newtoniana, y se ha verificado por observaciones con los telescopios., esto evita introducir a la materia oscura como causa de tal aumento de la velocidad de rotación.,

Pero en problemas de dinámica planetaria la diferencia con la teoría newtoniana es bastante despreciable.

[JCB]

... , y la consecuencia mas obvia es que se necesita mayor velocidad tangencial para mantener un equilibrio de fuerzas en las orbitas de estrellas alrededor del núcleo galáctico, ...

Hola a tod@s.

Quizás esté equivocado, pero diría que una menor atracción gravitatoria, provocaría una menor velocidad orbital. Suponiendo una órbita circular,

$v=\sqrt{\dfrac{GM}{r^{1+\varepsilon}}}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola quizá no lo haya explicado bien, es todo caso lo aclaro, las observaciones nos dicen que la velocidad angular de las estrellas exteriores es similar a la de las interiores y eso no pasa en los sistemas planetarios, como el solar, las estrellas interiores giran más lento de lo que debieran o las exteriores mas rápido que lo que diría la teoría newtoniana a secas, la teoría modificada aumentaría la rotación de las exteriores o disminuiría la de las interiores sin introducir el concepto de materia oscura, que es necesario en relatividad.

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Din%...ana_modificada

[Alriga]

...El problema plantea que consecuencias tendría que la Ley de Gravitación Universal fuera distinta. Tal que:

$F=G\dfrac{Mm}{R^{2+ \varepsilon}}$

Con $\varepsilon$ un valor positivo y muy pequeño...

…Eso es lo que proponen algunas teorías de la gravedad newtoniana modificada o MOND...

Richard, creo que te confundes mezclando MOND aquí. Lo que propone la MOND de Milgrom es que la 2ª Ley de Newton es en realidad

$F=m \mu a$

En donde siendo $a_0$ una aceleración muy pequeña, $\mu$ es una función

$\mu=\mu \left ( \dfrac a{a_0} \right )$

Con ello la ley de gravitación modificada queda:

$F=G \ \dfrac{m M}{\mu \ r^2}$

Que no es la misma expresión que la del enunciado de kerosect

Partiendo de la expresión del enunciado y aplicada a un "problema de 2 cuerpos" que es el caso más sencillo:

$F=G \ \dfrac{m M}{r^{2+ \epsilon}}$

Calculamos la energía potencial del campo gravitatorio:

$\dst U=\int_{\infty}^r G \ \dfrac{m M}{r^{2+ \epsilon}}$

$U=-G \ \dfrac{m M}{(1+\epsilon) r^{1+ \epsilon}}$

La energía mecánica de la órbita, suma de la cinética más la potencial es:

$$E=\dfrac 1 2 m v^2-\dfrac{G m M}{(1+\epsilon) r^{1+ \epsilon}}$$

A partir de aquí habría que aplicar la conservación del momento angular de forma similar a como se hace en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Para una órbita circular del mismo radio, estoy de acuerdo con JCB , la velocidad sería un poco menor que con la ley de la inversa del cuadrado:

$G \ \dfrac{m M}{R^{2+ \epsilon}}=m \dfrac{v^2}R \quad \longrightarrow \quad v=\sqrt{\dfrac{G M}{R^{1+\epsilon}}}$

Para una órbita parabólica, E=0 en la expresión (1) la velocidad también sale menor que con la ley de la inversa del cuadrado para cualquier distancia "r":

$v=\sqrt{\dfrac{2 G M}{(1+\epsilon) \ r^{1+\epsilon}}}$

En general para cualquier energía E, según la ley de la inversa del cuadrado se obtiene para la velocidad:

$$v_2^2=\dfrac 2 m \left ( E+\dfrac{G m M}{r} \right )$$

Mientras que con la nueva ley del enunciado de este ejercicio se obtiene:

$$v_{\epsilon}^2=\dfrac 2 m \left ( E+\dfrac{G m M}{(1+\epsilon) r^{1+\epsilon}} \right )$$

Esta segunda velocidad dada por (3) es siempre inferior a la obtenida mediante (2) por lo que la respuesta a la pregunta del ejercicio

...que consecuencias tendría que la Ley de Gravitación Universal fuera distinta. Tal que:

$F=G\dfrac{Mm}{R^{2+ \varepsilon}}$

Con $\varepsilon$ un valor positivo y muy pequeño...

Podría ser “que las velocidades orbitales serían menores”

La diferencia entre los cuadrados de ambas velocidades es

$v_2^2-v_{\epsilon}^2=2 G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{(1+\epsilon) \ r^{1+\epsilon}} \right )$

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola a todos, no era la intensión excederme, veo muy relacionado el tema y derive el hilo hacía donde no debía ir.
El tema es que podría aplicar las ideas hasta la fórmula numero 12 y operar de https://forum.lawebdefisica.com/blog...de-una-galaxia

Tiene entonces que hacer el mismo desarrollo pero con su fórmula de gravtacion modificada, y no introducir otra clase de materia como la oscura.
PD . Debe determinar bien su función de potencial gravitatorio sabiendo que la fuerza es la menos derivada respecto al radio del potencial.

[kerosect]

Muchas gracias a todos por vuestro tiempo.

Viendo lo comentado no acabo de entender la afirmación que da como falsa del enunciado expuesto. Ya que entre las distintas afirmaciones que me proponen consideran como falsa la siguiente: en un sistema formado por un Sol y un planeta (con la nueva ley) podría moverse el planeta en una órbita que sea elíptica y no circular alrededor de ese Sol. La que se marca como verdadera es la siguiente: ese único planeta podría moverse en una órbita alrededor del Sol con una órbita circular estacionaria.

No veo, el motivo de la falsedad de la primera.

[Richard R Richard]

Puedes garantizar orbitas elipticas para todo epsilon ,con el nuevo potencial central?

[Alriga]

...en un sistema formado por un Sol y un planeta (con la nueva ley) podría moverse el planeta en una órbita que sea elíptica y no circular alrededor de ese Sol...

No está muy bien redactado, pero entiendo que ahí quiere afirmar que las órbitas circulares no son posibles con la nueva ley, mientras que afirma que sí son posibles las elípticas. Por lo tanto esa afirmación es falsa, ya que puede haber órbitas circulares de cualquier radio "R" siempre que se cumpla que la velocidad es.

$v=\sqrt{\dfrac{G M}{R^{1+\epsilon}}}$

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola he modelado mediante ecuaciones de cinemática, y a menos que haya vuelto a meter la pata , veo que

Las orbitas circulares son posibles para el mismo radio, pero requieren menor velocidad, Lleva razón JCB.

Pero dado una velocidad de periastro inicial mayor a la velocidad de la órbita circular, la teoría newtoniana, describe orbitas elípticas exactas, hasta que la velocidad alcance la de escape.

pero en este ejercicio de gravedad modificada se ven dos efectos,

la orbita no es elíptica pura, ya que hay precesión de periastro.
se amplia la distancia entre periastro y apoastro , resulta ser mayor que el semieje mayor de la orbita elíptica Newtoniana, pero aquí no se puede trazar un semieje ya que no es una orbita elíptica

Por eso la afirmación

en un sistema formado por un Sol y un planeta (con la nueva ley) podría moverse el planeta en una órbita que sea elíptica y no circular alrededor de ese Sol.

resulta falsa ya que si hay orbitas circulares pero no elípticas.

La que se marca como verdadera es la siguiente: ese único planeta podría moverse en una órbita alrededor del Sol con una órbita circular estacionaria.

aquí no esta claro que significa estacionaria, pero puede ser a que no tenga precesión de periastro, y como la orbita circular es posible, sin precesión, resulta ser verdadera.

adjunto el código del programa en visualbasic

Private Sub Command1_Click()
Dim dt As Integer
Dim Xnxx As Variant
Dim Xmxx As Variant
Dim Ynyy As Variant
Dim Ymyy As Variant
Dim Vnxx As Variant
Dim Vnyy As Variant
Dim Vmxx As Variant
Dim Vmyy As Variant
Dim Anxx As Variant
Dim Anyy As Variant
Dim Amxx As Variant
Dim Amyy As Variant
Dim Xnv As Integer
Dim Ynv As Integer
Dim Xmv As Integer
Dim Ymv As Integer


dibujo.Line (3000, 0)-(3000, 11000), &H0
dibujo.Line (8000, 0)-(8000, 11000), &H0
dibujo.Line (0, 5000)-(11000, 5000), &H0



k = 1
GM = 200000
m = 1
r0 = 2000
th = 0
Xnxx = r0 * Cos(th)
Ynyy = r0 * Sin(th)
Xmxx = r0 * Cos(th)
Ymyy = r0 * Sin(th)
Xnv = 3000 + Xnxx
Ynv = 5000 + Ynyy
Xmv = 8000 + Xmxx
Ymv = 5000 + Ymyy

e = 0.1
dt = 1
pasos = 10
Vnyy = (GM / r0) ^ 0.5 + k
Vmyy = (GM / r0 ^ (1 + e)) ^ 0.5 + k
Vnxx = 0
Vmxx = 0
rn = (Xnxx ^ 2 + Ynyy ^ 2) ^ 0.5
rm = (Xmxx ^ 2 + Ymyy ^ 2) ^ 0.5
cthn = Cos(th)
sthn = Sin(th)
cthm = Cos(th)
sthm = Sin(th)
t = 0
Do Until t = 10000000
Anxx = -GM * cthn / rn ^ 2
Anyy = -GM * sthn / rn ^ 2
Amxx = -GM * cthm / rm ^ (2 + e)
Amyy = -GM * sthm / rm ^ (2 + e)
Vnxx = Vnxx + Anxx * dt / pasos
Vnyy = Vnyy + Anyy * dt / pasos
Vmxx = Vmxx + Amxx * dt / pasos
Vmyy = Vmyy + Amyy * dt / pasos
Xnxx = Xnxx + Vnxx * dt / pasos + 0.5 * Anxx * (dt / pasos) ^ 2
Ynyy = Ynyy + Vnyy * dt / pasos + 0.5 * Anyy * (dt / pasos) ^ 2
Xmxx = Xmxx + Vmxx * dt / pasos + 0.5 * Amxx * (dt / pasos) ^ 2
Ymyy = Ymyy + Vmyy * dt / pasos + 0.5 * Amyy * (dt / pasos) ^ 2
rn = (Xnxx ^ 2 + Ynyy ^ 2) ^ 0.5
rm = (Xmxx ^ 2 + Ymyy ^ 2) ^ 0.5
cthn = Xnxx / rn
sthn = Ynyy / rn
cthm = Xmxx / rm
sthm = Ymyy / rm

dibujo.Line (Xnv, Ynv)-(CInt(Xnxx) + 3000, CInt(Ynyy) + 5000), &H0

dibujo.Line (Xmv, Ymv)-(CInt(Xmxx) + 8000, CInt(Ymyy) + 5000), &H0


Xnv = CInt(Xnxx) + 3000
Ynv = CInt(Ynyy) + 5000
Xmv = CInt(Xmxx) + 8000
Ymv = CInt(Ymyy) + 5000

t = t + dt
If Int(t / pasos) = t / pasos Then
dibujo.Refresh
End If

Loop

MsgBox ("termino")



End Sub

son dos gráficos que parten de la misma distancia radial, con la misma masa
k es el incremento de velocidad orbital por encima de la velocidad circular, resultando el punto de aplicación en un periastro.(Si se elije k=0) resultan los dos gráficos en orbitas circulares.
los valores de GM y r son anecdóticos debería funcionar para cualquiera que fueran escogido, y la velocidad de orbita circular resultara de $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r^{1+\varepsilon}}}$

Pd cuanto mas pequeño el exponente epsilon, menor precesión bien nitido para $\epsilon=0.1$

una captura del resultado

a la izquierda el modelo newtoniano, el grosor se debe a los errores de truncamiento y de metodo, a la derecha el de la gravedad modificada

Saludos