Problema OAF 1996

[leasim09]

Se deja caer un cuerpo de masa 2Kg. desde el punto A que choca plásticamente con otro cuerpo
de masa 1 Kg. que se encuentra en reposo ( ver esquema ) . Asciende encontrando en el tramo BC un
arco de círculo de 10 m. de radio. Luego continúa su marcha, donde a partir del punto D, el piso posee
un coeficiente de rozamiento estático de 0.8 y un coeficiente cinético de 0.6, el cual al cabo de 1m
tiene un resorte con un extremo fijo en la pared ( K= 50 N/m) . Calcular :
a) La velocidad del primer cuerpo antes del choque
b) La velocidad después del choque
c) Después de producido el choque, el conjunto de ambos cuerpos, se eleva o no del piso?
d) Cuál es la máxima compresión del resorte ?
e) Si una vez comprimido el resorte, permanece en reposo

Por favor si me pueden ayudar en el inciso c)

[Richard R Richard]

Hola leasim09 en el punto c lo que te piden es que garantices que habrá contacto entre las masas y el piso a lo largo del sector que como es un arco de circunferencia la componente de peso perpendicular a la superficie debe ser mayor a la fuerza centrípeta.

$(m_1+m_2)g\cos\alpha \leq \dfrac{(m_1+m_2)v^2}{R}$

A la vez se cumple la conservación de la energía donde a partir de la velocidad luego el choque puedes calcular la velocidad v del conjunto para la altura h del punto del tramo que analices.(tomando como altura h=0 al punto del choque )

$\frac12mv^2_{choque}=mgh+\frac12mv^2$

y como la salida de la curva es horizontal en altura h_f puedes poner el ángulo alfa el función de la altura h

$h=h_f-R\cos\alpha$

De la segunda despeja v y de la última alfa, y reemplaza en la primera todo te queda en función de h. Resuelve la igualdad y fíjate que valor de h es necesario para el despegue y si no es compatible con cualquier punto del sector entonces no habrá despegue.
Esta explicación es general, pero en particular puedes observar que el punto donde es más probable que despegue es el B porque allí el conjunto viaja a más velocidad y la componente normal del peso es menor que en cualquier otro punto de la curva.

[JCB]

Hola a tod@s.

Habiendo considerado que el segmento $\overline{OC}$ es vertical, y haciendo números, he llegado a que el conjunto de las dos masas, no despega ni en B, ni tampoco en C, ya que en ambos casos existe la reacción de la normal del suelo sobre las dos masas. En B, $N_B=20,87\ N$. En C, $N_C=22,21\ N$.

Richard R Richard, ya me dirás si te coinciden los valores.

Saludos cordiales,
JCB.

[leasim09]

Hola Richard
En el tramo BC del arco es $a_c=\dfrac{v^2}{R}$ y ésta debe ser menor que la proyección normal de la gravedad, o se despegará...
Es decir $\dfrac{v^2}{R} < g \cos\alpha$
entonces la velocidad al cuadrado tiene que ser menor que el.producto de gRcos(a)
Por lo q la velocidad después del choque tiene q ser menor que la raíz cuadrada de gRcos(a) para q no se despegue del arco
dime.si ese análisis está bien
Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

leasim09, el enunciado indica que el choque entre las masas 1 y 2, es plástico. De aquí se infiere que las masas 1 y 2 permanecen unidas después del choque. Luego, la velocidad después del choque ($v_f=11,04\ m/s$, me da), se calcula mediante conservación de la cantidad de movimiento. Sería conveniente que empezases por el apartado a) y fueras escribiendo tu desarrollo de cada apartado, de manera paulatina.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

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[JCB]

Hola a tod@s.

A continuación, hago un pequeño resumen, a ver si consigo de esta manera, despejar todas las dudas que pueda tener leasim09.

a) $v_1=\sqrt{2gh_A}=16,57\ m/s$.

b) Aunque el choque es plástico, se conserva la cantidad de movimiento,

$m_1v_1+m_2\cancelto{0}{v_2}=(m_1+m_2)v_f$

$v_f=\dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2}=11,04\ m/s$.

c) Para saber si el conjunto de las dos masas llega a despegarse en el tramo BC, debemos conocer su velocidad. Tal y como dice Richard en su mensaje # 2, el punto más desfavorable del tramo BC, es el B, por tener la mayor velocidad.

Sustituyendo $h_B=h_C-R(1-\cos\theta)$ en $v_B=\sqrt{v_f^2-2gh_B}=5,19\ m/s$.

$\sum{F}=ma$

$-N_B+(m_1+m_2)g\cos\theta=(m_1+m_2)\dfrac{v_B^2}{R}$

$N_B=20,87\ N$. Como existe reacción del suelo sobre el conjunto de las dos masas, no hay despegue.

d) $v_D=v_C=\sqrt{v_B^2-2g(h_C-h_B)}=4,89\ m/s$. Aplicando la conservación de la energía mecánica entre el punto D y el punto de impacto contra el muelle (separados una distancia $d$, igual a un metro), la velocidad del conjunto en el punto de impacto I contra el muelle será

$\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_D^2-\mu_d(m_1+m_2)gd=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_I^2$

$v_I=\sqrt{v_D^2-2\mu_dgd}=3,49\ m/s$. Aplicando otra vez la conservación de la energía mecánica entre el punto de impacto I y el punto de máxima compresión (con velocidad 0),

$\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_I^2-\mu_d(m_1+m_2)g\Delta x=\dfrac{1}{2}k(\Delta x)^2$. Resolviendo esta ecuación, $\Delta x=0,57\ m$.

e) Una vez comprimido el muelle, como se trata de un sistema con amortiguación debida al rozamiento, el conjunto irá oscilando hasta su detención completa.

Saludos cordiales,
JCB.