1r ciclo Momento angular de partícula discreta

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Una partícula de masa M se mueve con rapidez angular constante $\omega$ en sentido contrario al de las manecillas del reloj y describiendo un círculo de radio R con centro en el origen de coordenadas cartesianas.

(a) Calcule su momento angular respecto al punto A, en la posición $\vec{r_A} = -R \hat{\imath}$, en función del tiempo.
(b) Calule el torque, respecto a A, qué actúa sobre la partícula. Verificar que $\vec{\tau_A} = d\displaystyle\frac{\vec{L_A}}{dt }$

Hago lo siguiente:
$\vec{L_A} = \vec{r_A} \times \vec{P_A}) = m (\hat{r_A} \times \vec{v_A}) = mRv_A sin(\pi /2) \hat{k}$

$\Rightarrow \vec{L} = m wR^{2} \hat{k}$

Lo anterior es correcto?
Pero no entiendo que me piden $\vec{L(t)}$ , cómo lo consigo?

(b) Torque respecto de A

$\vec{\tau} = \vec{r_A} \times \vec{F}$ pero no conozco las fuerzas que actúan..

Gracias de antemano, saludos.

[felmon38]

Re: Momento angular de partícula discreta

Hola Bruno, me imagino que cuando te piden el momento angular respecto de A , quieren decir el momento angular lar respecto de O, porque si no, valdrá cero. El momento angular lo tienes bien y como ves es constante, así que el torque, respecto de O, será cero, bueno y si es respecto de A, no digamos!
Saludos

[Alriga]

Re: Momento angular de partícula discreta

El apartado A)

$\vec \omega= \omega \vec k$

$\vec r=R \cos \phi \vec i+R \sin \phi \vec j$

$\vec v= \vec \omega \times \vec r=-\omega R \sin \phi \vec i+\omega R \cos \phi \vec j$

$\vec r_{OA}=-R \ \vec i$

$\vec r_{OA} + \vec r_{AP} = \vec r$

$\vec r_{AP}= R \cos \phi \vec i+R \sin \phi \vec j-( -R \ \vec i)$

$\vec r_{AP}= R \ (1+\cos \phi) \ \vec i+R \sin \phi \ \vec j$

$\vec L_A=\vec r_{AP} \times \vec p=\vec r_{AP} \times M \ \vec v=M \ R^2 \ \omega \ ( 1+\cos \phi ) \ \vec k$

$\phi=\omega \cdot t$

$\vec L_A=M \ R^2 \ \omega \ [ \ 1+\cos( \omega \ t) \ ] \ \vec k$

El apartado B)

$\vec F=M \cdot \vec a$

En un movimiento circular uniforme la aceleración es centrípeta:

$\vec a=-\omega^2 \cdot \vec r$

$\vec F=-M \omega^2 R \cos \phi \ \vec i-M \omega^2 R \sin \phi \ \vec j$

El par de la fuerza F respecto del punto A:

$\vec \Gamma_A =\vec r_{AP} \times \vec F$

Haciendo el producto vectorial calculamos el Par:

$\vec \Gamma_A =-M \omega^2 R^2 \sin \phi \ \vec k = -M \omega^2 R^2 \sin (\omega \ t) \ \vec k$

Si ahora hacemos la derivada del momento lineal:

$\dfrac{d \vec L_A}{dt}= -M \omega^2 R^2 \sin (\omega \ t) \ \vec k= \vec \Gamma_A$

Vemos que coincide con la expresión del Par.

Saludos.

[felmon38]

Re: Momento angular de partícula discreta

Hola Alriga, creo que el apartado b) está mal ya que la fuerza tiene la dirección del radio por lo que su momento respecto de O o de A será cero.
Saludos

[bruno_uy]

Re: Momento angular de partícula discreta

gracias a ambos.

$\vec r_{OA}=-R \ \vec i$

$\vec r_{OA} + \vec r_{AP} = \vec r$

$\vec r_{AP}= R \cos \phi \vec i+R \sin \phi \vec j-( -R \ \vec i)$

$\vec r_{AP}= R \ (1+\cos \phi) \ \vec i+R \sin \phi \ \vec j$

$\vec L_A=\vec r_{AP} \times \vec p=\vec r_{AP} \times M \ \vec v=M \ R^2 \ \omega \ ( 1+\cos \phi ) \ \vec k$

$\phi=\omega \cdot t$

$\vec L_A=M \ R^2 \ \omega \ [ \ 1+\cos( \omega \ t) \ ] \ \vec k$

No entendí que es:
$\vec r_{AP}$ : Cuál es el punto P, un punto genérico?
Y una pregunta: El momento angular no es constante como apreció felmon38?

Te da que depende del ángulo.. no termino de entender.. saludos

[Alriga]

Re: Momento angular de partícula discreta

… Hola Alriga, creo que el apartado b) está mal ya que la fuerza tiene la dirección del radio por lo que su momento respecto de O .... será cero …

El enunciado no pide calcular el momento respecto de O. Y yo no lo he calculado, por lo que por ahí no puedo haberme equivocado.
Si el enunciado pidiese calcularlo, habría que responder como dices: que es cero, ya que la fuerza es centrípeta y siempre pasa por O que es el centro del movimiento circular.

… Hola Alriga, creo que el apartado b) está mal ya que la fuerza tiene la dirección del radio por lo que su momento respecto de … A será cero …

En esto no estoy de acuerdo.

El punto A es un punto fijo (independiente del tiempo), definido por su vector de posición:

$\vec{OA} \ (-R, \ 0, \ 0)$

Mientras que la fuerza centrípeta es:

$\vec F \ (-M \omega^2 R \cos \phi, \ -M \omega^2 R \sin \phi, \ 0)$

Se ve claramente que $\vec F$ y $\vec{OA}$ solo tienen la misma dirección en 2 puntos de cada rotación, cuando $\sin \phi =0$ por lo tanto en $\phi =0+k \pi$

Y los 2 puntos por vuelta en los que el torque es cero se ven claramente en la expresión general que he calculado:

$\vec \Gamma_A =-M \omega^2 R^2 \sin \phi \ \vec k$

Por lo tanto concluyo que si hubiese algún error en el apartado B), (que creo que no lo hay), en todo caso no sería el que tú señalas.

Saludos.

[felmon38]

Re: Momento angular de partícula discreta

Naturalmente Alriga, interpreté que A era el punto material, como se puede deducir de mi primera contestación. Así que Bruno haz caso a Artiga y perdona.
Saludos

[Alriga]

Re: Momento angular de partícula discreta

No entendí que es:
$\vec r_{AP}$ : Cuál es el punto P, un punto genérico?

Sí, P es el punto genérico en el que se halla la partícula en un instante de su movimiento circular.

Y una pregunta: El momento angular no es constante como apreció felmon38?

No, lee mi respuesta a felmon38

Te da que depende del ángulo.. no termino de entender

Naturalmente, depende de la posición en la que esté la partícula, y la posición de la partícula está parametrizada por el ángulo. La argumentación que he hecho en la resolución del ejercicio es correcta.

Saludos.