Tres masas y tres poleas

[AlterFear]

Muy buenas,

Soy un estudiante de primero de ingeniería química, quería preguntar sobre un ejercicio del tema 5 del libro de Paul M. Fishbane, en concreto el ejercicio 15.
En este se encuentran tres poleas, todas ellas sin fricción y sus cuerdas sin masa, sujetando tres masas diferentes (m₁=2kg, m₂=5kg y m₃=4kg) de la siguiente manera:

El ejercicio pide la tensión de las dos cuerdas (T₁,T₂) y la aceleración de cada masa.
Al aplicar las leyes de Newton obtuve las siguientes ecuaciones:
T₁ - m₁g = m₁a₁
T₂ - m₂g = m₂a₂
m₃g - T₁ = m₃a₃
2T₁ = T₂

La única manera que se me ocurrió para continuar fue asumir que a₁ = a₃, y logre resultados aproximados a los de la solución que viene en el libro, pero claro, al intentar calcular las aceleraciones, al haber asumido que dos son iguales fallo el ejercicio, que necesita tres aceleraciones diferentes. Después de investigar un poco encontré otro ejercicio que si se resuelve con mi planteamiento, pero en ese ejercicio hay dos masas en vez de tres. Hay algo que haya pasado por alto?

Gracias de antemano.

[Al2000]

Yo te sugeriría que escribieras la penúltima ecuación como $T_1 - m_3 g = m_3 a_3$. De esa forma todas las aceleraciones serían positivas si el cuerpo sube. Por supuesto que alguna aceleración resultará negativa, pues no todos los cuerpos pueden subir.

Para resolver el sistema te falta una ecuación. Dado que las cuerdas son de longitud constante, entonces los desplazamientos (y sus velocidades y aceleraciones) de los tres cuerpos no son independientes, sino que están restringidos a que la suma de sus desplazamiento sea nula, es decir si alguno sube los otros deben bajar lo necesario. Puedes obtener la relación por simple inspección, o puedes hacerlo de manera más analítica estableciendo un sistema de coordenadas que te de la posición de cada cuerpo y poniendo la restricción de que la longitud de la cuerda es constante.

Por ejemplo, si estableces tu origen en las poleas superiores y mides la coordenada $y$ hacia abajo, obtendrás que, por ser la cuerda 1 de longitud constante:

$$y_1 + 2 y_2 + y_3 = \text {ctte}$$

de donde obtienes al derivar dos veces respecto al tiempo que

$$a_1 + 2 a_2 + a_3 = 0$$

Con esta ecuación y las que escribiste previamente (corrigiendo la penúltima) deberías obtener el resultado correcto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

Yo lo he planteado, suponiendo que $m_1$ sube y tanto $m_2$ como $m_3$, bajan.

$T-m_1g=m_1a_1$

$-2T+m_2g=m_2a_2$

$-T+m_3g=m_3a_3$

La ecuación de ligadura

$a_1+2a_2+a_3=0$

De esta manera, llego a que $T=35,64\ N$, $a_1=8,02\ m/s^2$ (se confirma que sube), $a_2=-4,45\ m/s^2$ (finalmente $m_2$ acaba subiendo), $a_3=0,89\ m/s^2$ (se confirma que baja).

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Atención: ver la solución correcta en el mensaje # 4.

[AlterFear]

Muchas gracias, no conocía de la existencia de esa ecuación, pero he entendido por que se utiliza. Al aplicar la ecuación, llego a:

$$T_1 = \frac {4g}{\frac 1 m_1 + \frac 4 m_2 + \frac 1 m_3} = 25.29N$$

Por lo tanto T₂ = 50.58N, a₁ = 2.85m/s², a₂=0.32m/s² y a₃ = -3.48m/s², los mismos resultados que en las soluciones del libro.

[JCB]

Hola a tod@s.

Me ha costado, pero por fin he descubierto mi error: en la ecuación de ligadura, no había tenido en cuenta el signo de las aceleraciones. Tal y como he considerado el movimiento de las masas, tendría que haber escrito $a_1-2a_2-a_3=0$. Finalmente,

$T=\dfrac{4g}{\left(\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{4}{m_2}+\dfrac{1}{m_3}\right)}=25,29\ N$

Disculpas por si he creado algún malentendido.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

En la ecuación de ligadura (ya que en tus ecuaciones previas asumiste las aceleraciones positivas en distintas direcciones) las aceleraciones no tienen los signos correctos. Para que comprendas el error, analiza el caso más simple de la máquina de Atwood.y comprueba el error.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Gracias Al2000. Me di cuenta de eso, y edité el mensaje # 5 antes de ver tu mensaje # 6.

[delmar7]

Hola

Solamente para precisar, la constancia de las longitudes de las cuerdas implican, considerando como referencia los centros de las poleas superiores la ecuación : y₁+2 y₂+y₃=cte derivando dos veces se obtiene a₁+2 a₂+a₃=0, sentido positivo hacia abajo. Al aplicar la segunda ley de Newton a las 3 masas y a la polea del centro (considerando masa despreciable), se tendrán (considerando el sentido positivo hacia abajo) las ecuaciones siguientes

-T₁+m₁g=m₁a₁
-T₂+m₂g=m₂a₂
-T₁+m₃g=m₃a₃
T₂-2T₁=0
_{5 ecuaciones y 5 incógnitas se puede resolver
Saludos}

[JCB]

Hola a tod@s.

delmar7, matemáticamente el razonamiento es impecable, pero para un físico o un ingeniero, quizás el planteamiento resulte contra intuitivo, ya que creo que ninguno de los dos afirmaría que todas las masas bajan. De aquí, que consideré que una masa sube y dos bajan, aunque después me equivoqué en la ecuación de ligadura de las aceleraciones

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Una simple inspección hace ver qué la suma de las masas exteriores es mayor que la masa del medio ,Luego ya se puede intuir que la masa 2 asciende y las otras dos descienden.

De ese modo por cada unida que ascienda 2 las otras masas descenderán 2 unidas entre ambas llegando por derivación a

$2a_2=a_1+a_3<br />$

De ese modo las aceleraciones resultan positivas., Es decir coinciden en sentido respecto del sistema de referencia escogido.