1r ciclo Problema que todavía no pude resolver

[rodtoobe]

Hola, necesito ayuda para poder resolver este problema de encuentro con optimización que hace días que no logro un buen avance, ya que quiero ingresar al Instituto Balseiro de Argentina para cursar la licenciatura en física, y en unos de sus exámenes de ingreso me trabé en un problema que a simple vista parece sencillo pero no puedo resolverlo con mis conocimientos

Aquí va el problema
PROBLEMA 12
Álvaro y Raquel van a visitar a su hijo que vive en un pueblo vecino a una distancia de 10 km. Quieren llegar lo más rápido posible, pero sólo tienen una bicicleta en la que no pueden ir los dos a la vez. Se les ocurre una idea: Que Raquel recorra un tramo en bicicleta, la deje a una distancia d arbitraria del recorrido y luego siga caminando. Mientras tanto, Álvaro irá caminando y, cuando se encuentre con la bicicleta, continuara el recorrido pedaleando.
Raquel camina a 4 km/h y anda en bicicleta a 16 km/h, mientras que Álvaro camina a 6 km/h y anda en bicicleta a 14 km/h. Suponer que ambos salen al mismo tiempo de su casa.
a. ¿A qué distancia d debe dejar la bicicleta Raquel para que quien llege último lo haga en el menor tiempo posible?
b. Calcular dicho tiempo. Justificar la respuesta

Por favor agradecería mucho la ayuda

[alexpglez]

Re: Problema que todavía no pude resolver

Hola, el problema parece simple. Dinos, ¿qué has intentado?

[skynet]

Re: Problema que todavía no pude resolver

el problema no es tan fácil como parece, la cuestión es que tienes dos funciones de d: el tiempo que tarda Alvaro y el tiempo que tarda Raquel.....no se trata de optimizar una función, hay que optimizar las dos a la vez......yo opino que el tiempo mínimo será aquel para el que el tiempo que tarda Alvaro es igual al tiempo que tarda Raquel, en cuyo caso, el problema es fácil, ni siquiera es un problema de optimización, es puramente algebraico.....la cuestión es ¿cómo justificar esa afirmación?...

[alexpglez]

Re: Problema que todavía no pude resolver

el problema no es tan fácil como parece, la cuestión es que tienes dos funciones de d: el tiempo que tarda Alvaro y el tiempo que tarda Raquel.....yo opino que el tiempo mínimo será aquel para el que el tiempo que tarda Alvaro es igual al tiempo que tarda Raquel, en cuyo caso, el problema es fácil, ni siquiera es un problema de optimización, es puramente algebraico.....la cuestión es ¿cómo justificar esa afirmación?...

Si, lo de sencillo lo dije muy a la ligera. Pero si se puede resumir en un problema de optimización. Llamemos $T_A$ el tiempo que tarda Álvaro en llegar y $T_R$ el tiempo que tarda Raquel en llegar, llamemos $T(d)$ a la función a optimizar: el tiempo del que llega el último, esto es, el mayor tiempo de los dos anteriores, así pues:

$$T(d)=T_A(d) \;\; \forall d T_A(d) > T_R(d) \;\;\;\;\; T(d)=T_R(d) \;\;\; \forall d T_R(d)>T_A$$

Si se calcula, la función resulta ser continua, pero no derivable cuando llegan al mismo tiempo $\not\exists T'(x) \;\;\; x|T_A(x)=T_R(x)$.
Además comparando los valores en $d=0$ y $d=10$ con el valor anterior, y como en ningún punto la derivada es 0, tenemos que el punto óptimo es el d tal que ambos lleguen al mismo tiempo:

$$d \equiv x| T_A(x)=T_R(x)$$

[felmon38]

Re: Problema que todavía no pude resolver

También se llega a la conclusión de alexpglezg gráficamente, dibujando las dos curvas t=t(d), siendo t el tiempo que tarda cada uno de ellos en llegar a destino.
Saludó

[Richard R Richard]

Re: Problema que todavía no pude resolver

Hola parece ser un problema de investigación operativa que se resuelven por el método simplex

cuando lo intente hacer me di cuenta que existe la posibilidad de que ambos lleguen al mismo tiempo

llamando a las velocidades en km/h
$v_1=4$
$v_2=16$
$v_3=6$
$v_4=14$

armamos 4 ecuaciones lineales con 4 incongnitas de tiempo (los cuales si salen todo positivos) no es necesario usar el metodo simplex de optimización
Las ecuaciones son

$\left \{\begin{aligned} <br /> v_1t_1&+v_2t_2&+0&+0&=10\\<br /> 0&+v_2t_2&-v_3 t_3&+0&=0\\<br /> 0&+0&v_3t_3&+v_4t_4&=10\\<br /> t_1&+t_2&-t_3&-t_4&=0\end{aligned}\right .$

$\left\{\begin{aligned} <br /> t_1 &= \frac{35}{38} &= 0.92105263h\\<br /> t_2 &= \frac{15}{38} &= 0.39473684h\\<br /> t_3 &= \frac{40}{38} &= 1.05263158h\\<br /> t_4 &= \frac{10}{38} &= 0.26315789h\end{aligned}\right .$

$d=v_2t_2=\dfrac{16\cdot15}{38} m$

$t=t_1+t_2=t_3+t_4=\dfrac {50}{38} h$


la justificación sería que la relación de tiempos entre los recorridos de Raquel y las velocidades de Alvaro son iguales y vicecersa $\dfrac{t_1}{t_2}=\dfrac{v_3}{v_4}=\dfrac{3}{7}$ y $\dfrac{t_3}{t_4}=\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{1}{4}$

la bicicleta estuvo esperando por Alvaro $t_3-t_2=t_1-t_4=\dfrac {25}{38}h$ si ese tiempo hubiese sido menor Raquel tendría que haberla dejado antes, pero como camina mas lento hubiese tardado mas en llegar y si Alvaro la recogía mas lejos hubiese tardado mas en llegar pues 1 segundo en bicicleta lo recorre mas lento que Raquel.
también se tienen que corroborar que $v_2t_2+v_4t_4=10$ que es lo que viajo la bicicleta y el tiempo que estuvo en viaje y el tiempo que estuvo detenida es el mismo.

[rodtoobe]

Re: Problema que todavía no pude resolver

¡Gracias a todos!