1r ciclo Oscilaciones, ejercicios básicos - preguntas básicas

[bruno_uy]

Hola, tengo el ejercicio siguiente:
Un oscilador consta d eun bloque de 0,512 km de masa unido a un resorte. En t=0 se estira 3,47 cm respecto a la posición de equilibro y se observa que repite su movimiento cada 0,484 segundos.
Halle: el período, la frecuencia, la frecuencia angular, la velocidad máxima y la solución.

A partir de estos datos, como es un movimiento armónico simple sé que la ecuación es de la forma:
$x(t) = Acos(\omega t + \delta)$

y que:
$x_o = 0.0347 m$
$v_o = 0$ (puedo estimar que lo sueltan según la letra no? ya que no especifica que lo sueltan.)
$A = 0.0347 m$ Siendo A la amplitud.

entonces hallo: $x(t=o) = Acos(\delta) = A \Rightarrow cos(\delta) = 1$

$v(t) = -A\omega sin(\omega t + \delta) \Rightarrow v(t=0) = -A\omega sin (\delta) = 0 \Rightarrow sin(\delta) = 0$

de lo anterior: $\delta = 0$

luego el período me piden hallarlo pero para mi es dato del problema, o no? T = 0.484


Luego, tengo una duda: la velocidad angular siempre es tal que $\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T }$

En este caso ya tengo \omega , \space A, \space \delta.
o sea que tengo x(t) = Acos(\omegat+\delta) bien definida.
la solución que piden cual es?

y una consulta más, el repartido de ejercicios tiene como encabezado la siguiente recomendación:
"Determina la ecuación de movimiento de todos los sistemas descritos, aún de los más sencillos. Para ello dispones de dos métodos:
(a) planteo de las ecuaciones de Newton (primera cardinal, cuando se traslada) y segunda cardinal (cuando el cuerpo rota)
o (b) derivando respecto del tiempo la ecuación de conservación de la energía, planteada para una posición cualquier del objeto.
Recuerda que esta última no siempre contiene toda la información del problema, dado que no tiene en cuanta las fuerzas de potencia nula, por ejemplo las fuerzas de rozamiento estático.
Una vez determinada la ecuación de movimiento deberas resolverla, comparándola con la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple (sistema masa-resorte). La condición inicial del sistema te dice si la solución es del tipo "seno" o "coseno" y si tiene o no un ángulo de desfasaje.

No entendía nada acá, porque yo sólo se resolver el problema como hice más arriba, calculando $A \space , \space \omega \space y \space \delta$ y entonces hallando la ecuación de posición en función de tiempo, luego derivo y hallo velocidad, y si es necesario derivo y hallo aceleración para todo tiempo.
Pero siempre la ecuación de posición en función del tiempo es un coseno, puede dar seno alguna vez?
Lo que marque en negrita es lo que menos entendí.

Disculpen lo largo del mensaje, pero quería sacarme estas dudas antes del parcial. Saludos.

[Alriga]

Re: Oscilaciones, ejercicios básicos - preguntas básicas

A partir de estos datos, como es un movimiento armónico simple sé que la ecuación es de la forma:
$x(t) = Acos(\omega t + \delta)$

y que:
$x_o = 0.0347 m$
$v_o = 0$ (puedo estimar que lo sueltan según la letra no? ya que no especifica que lo sueltan.)
$A = 0.0347 m$ Siendo A la amplitud.

entonces hallo: $x(t=o) = A \cos(\delta) = A \Rightarrow \cos(\delta) = 1$

$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \delta) \Rightarrow v(t=0) = -A \omega \sin (\delta) = 0 \Rightarrow\ sin(\delta) = 0$

de lo anterior: $\delta = 0$

luego el período me piden hallarlo pero para mi es dato del problema, o no? T = 0.484

Luego, tengo una duda: la velocidad angular siempre es tal que $\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T }$

Todo esto es correcto

... la solución que piden cual es? ...

Ni idea. Está muy mal expresado.

Determina la ecuación de movimiento de todos los sistemas descritos, aún de los más sencillos. Para ello dispones de dos métodos:<br>
(a) planteo de las ecuaciones de Newton (primera cardinal, cuando se traslada) y segunda cardinal (cuando el cuerpo rota)<br>
o (b) derivando respecto del tiempo la ecuación de conservación de la energía, planteada para una posición cualquier del objeto.<br>

La ecuación temporal del movimiento es la que has hallado $x(t) = A \cos(\omega t + \delta)$

La ecuación diferencial del movimiento se puede hallar:

$\boxed{F= m \ a}$ Segunda ley de Newton

$\boxed{F=-k \ x}$ Definición de Movimiento Armónico Simple

$a=\ddot x$

$\ddot x=- \dfrac k m \ x$

$\omega^2=\dfrac k m$

$\boxed{\ddot x=- \omega^2 \ x}$

La condición inicial del sistema te dice si la solución es del tipo "seno" o "coseno" y si tiene o no un ángulo de desfasaje.

Cuando en t=0 te dicen que la amplitud del movimiento es máxima, interesa usar la forma coseno, pues así la fase inicial queda nula, como has demostrado en la primera parte del ejercicio.
Cuando en t=0 te dicen que la amplitud del movimiento es cero, interesa usar la forma seno, pues así la fase inicial queda nula.

Saludos.

[bruno_uy]

Re: Oscilaciones, ejercicios básicos - preguntas básicas

Gracias, una cosa, pero si me dicen que en t=0 la amplitud del movimiento es mínima, como bien dices interesa usar seno..
Ahora en ese caso la si evalúo la ecuación de posición en función del tiempo:

$x (t=0) = Acos(\delta) = A$ obtengo el dato de que: $\delta > 0$

pero si ahora hago lo mismo usando seno:
$x (t=0) = Asen(0) = A$ esto no me aporta ningún dato. (aunque la fase inicial ya asumo que es cero pero luego que ecuación de movimiento uso?)

además lo que he estado pensando últimamente es que:
$x (t) = Acos(\omega t + \delta)$ si quiero expresarla como un seno debo tener cierto cuidado ya que $sen (x + \displaystyle\frac{\pi}{2 }) = cos (x)$

obviamente que: $x (t) = Acos(\omega t + \delta) \neq Asen(\omega t + \delta)$

podría decir que: $x (t) = Acos(\omega t + \delta) = Asen(\omega t + \delta + \displaystyle\frac{\pi}{2 })$?

[Alriga]

Re: Oscilaciones, ejercicios básicos - preguntas básicas

Gracias, una cosa, pero si me dicen que en t=0 la amplitud del movimiento es mínima, como bien dices interesa usar seno..
Ahora en ese caso la si evalúo la ecuación de posición en función del tiempo:

$x (t=0) = Acos(\delta) = A$ obtengo el dato de que: $\delta > 0$

pero si ahora hago lo mismo usando seno:
$x (t=0) = Asen(0) = A$ esto no me aporta ningún dato. (aunque la fase inicial ya asumo que es cero pero luego que ecuación de movimiento uso?)

Es que entonces el enunciado será distinto. Por ejemplo te dirán: un m.a.s. de 0.5 Hz de frecuencia tiene en el instante inicial la velocidad máxima de 1 m/s, …. bla, bla, bla, … Aquí será interesante usar la forma seno.

además lo que he estado pensando últimamente es que:
$x (t) = Acos(\omega t + \delta)$ si quiero expresarla como un seno debo tener cierto cuidado ya que $sen (x + \displaystyle\frac{\pi}{2 }) = cos (x)$


obviamente que: $x (t) = Acos(\omega t + \delta) \neq Asen(\omega t + \delta)$


podría decir que: $x (t) = Acos(\omega t + \delta) = Asen(\omega t + \delta + \displaystyle\frac{\pi}{2 })$?

Siempre se cumple que $A \ \cos(\omega t + \delta) = A \ \sin(\omega t + \delta + \dfrac{\pi}{2 })$
Eso es una relación matemática, no física, y por lo tanto si es necesario, siempre la puedes utilizar.
Saludos