Problemas de M.A.S hallar elongación en función de energías.

[kerosect]

Buenas a todos, tengo una duda en este problema de M.A.S. Tengo un oscilador que se mueve con la siguiente ecuación:

$x(t)=4 \cdot \sin(0.1 \cdot t+0.5)$ (SI)

De ahí puedo sacar v(t):

$v(t)=0.4 \cdot \cos(0.1 \cdot t+0.5)$

Además se infiere que la amplitud es $A=4$ m, $\omega = 0.1$ rad/s la frecuencia angular y $\theta_{0}=0.5$ la fase inicial.

En el problema se pregunta la elongación cuando su energía cinética sea la mitad de su energía mecánica.

Es decir:

$E = \frac{1}{2}E_{c}$


Y de ahí sacar los tiempos donde se verifica y hallar las elongaciones para esos tiempos. Haciendo eso no me acaba de salir. No se si puede haber algo que se me escape o alguna forma más sencilla.


Gracias de antemano.

[Alriga]

...En el problema se pregunta la elongación cuando su energía mecánica sea la mitad de su energía mecánica...

Hola kerosect , nota que esta frase no tiene sentido, has debido copiarla mal. La energía mecánica del oscilador es la suma de la energía cinética más la energía potencial.

¿Tal vez te preguntan la elongación cuando la energía cinética es la mitad de la energía mecánica?

Ya nos dirás, saludos.

[kerosect]

Efectivamente, lo copié mal. La energía cinética sea la mitad de su energía mecánica.

[Alriga]

En el problema se pregunta la elongación cuando su energía cinética sea la mitad de su energía mecánica.

Es decir:

$\cancel{E = \frac{1}{2}E_{c}}$

Nota que debe ser:

$E_c=\dfrac 1 2 E_M$

La energía cinética máxima es cuando la velocidad es máxima, o sea cuando el coseno vale 1

$v(t)=0.4 \cdot \cos(0.1 \cdot t+0.5)$

$E_{cm}=\dfrac 1 2 m 0.4^2$

La energía cinética máxima se da cuando la energía potencial es cero. Como la energía mecánica es la suma de cinética mas potencial y es constante puesto que el sistema es conservativo.

$E_M=E_{cm}=\dfrac 1 2 m 0.4^2$

¿Cuándo la energía cinética será la mitad de la energía mecánica? Cuando se cumpla:

$\dfrac 12 \left (\dfrac 1 2 m 0.4^2 \right )= \dfrac 1 2 m \big (0.4\cos (0.1 t +0.5) \big )^2$

$\cos (0.1 t+0.5)=\dfrac 1{\sqrt 2}$

Es una ecuación en la que es muy fácil despejar el tiempo. Cuando lo tengas, lo sustituyes en la expresión de la elongación $x(t)$ y ya está.

Saludos.

[kerosect]

Gracias, me había confundido con la relación.

[Richard R Richard]

Cuando esta en su máxima elongación la energía mecánica es igual a la energía potencial elástica solamente.

$Em=\dfrac12kA^2$

como se conserva la energía mecánica y te piden cuando

$Em=\dfrac {Em}2+\dfrac12k x^2$

$\dfrac {Em}2=\dfrac12k x^2$

$\dfrac14kA^2=\dfrac12k x^2$

$x^2=\dfrac {2kA^2}{4k}$

$x=\dfrac A{\sqrt2}= \dfrac4{\sqrt2}=2.828m$

Saludos