1r ciclo Oscilaciones, cilindro unido a resorte

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Un cilindro sólido esta unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal.
La constante de fuerza del resorte es: k = 2,94 N/cm. Si el resorte parte del reposo desde una posición en que el resorte esta estirado 23,9 cm halle (a) la energía cinética de traslación y (b) la energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibro.
(c) demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efectúa un movimiento armónico con un periodo $T = 2\pi\sqrt[]{\displaystyle\frac{3m}{2k }}$ donde m es la masa del cilindro.

Plateo lo siguiente:

considero que la amplitud es A = 0,239 m
La energía total inicial es: $E_p = \displaystyle\frac{1}{2 }kA^{2}$

La energía se conserva, entonces en punto de equilibro esta se transforma en energía cinética de rotación mas energía cinética de traslación.

Tengo que: $\displaystyle\frac{1}{2 }mv^{2} + \displaystyle\frac{1}{2 }I(\displaystyle\frac{v}{ A})^{2}= \displaystyle\frac{1}{2 }kA^{2} \Rightarrow v = \displaystyle\sqrt{\frac{k}{mA^{ 2}+I }}$

luego con esta velocidad sustiuyo y calculo la energía cinética de rotación y la de traslación en el punto de equilibro del resorte.


Ahora, para la parte (c) tengo dificultades.
El centro de masa se mueve describiendo un movimiento de traslación, con una velocidad máxima como la calculada anteriormente.
Luego, para hallar el periodo necesito la $\omega$

$v = \omega A \Rightarrow \omega = v/A = v = \displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt{\frac{k}{mA^{ 2}+I }}}{A } = \displaystyle\sqrt{\frac{k}{(mA^{ 2}+I)A^{ 2} }}$

esto es correcto?
de cualquier manera si lo es, no se parece nada al resultado cuando vaya a calcular el periodo como $T = 2\pi/ \omega$

Y además cómo demuestro que el movimiento es armónico simple_

[arivasm]

Re: Oscilaciones, cilindro unido a resorte

No debes confundir la velocidad angular del cilindro con la pulsación de la oscilación. Solemos escribir ambas con el símbolo $\omega$ pero se trata de dos cantidades diferentes. Por otra parte, una cosa es la amplitud de la oscilación y otra el radio del cilindro.

La expresión correcta para la conservación de la energía mecánica entre la posición de partida y la de equilibrio no es la que pones, sino $\dst\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\left(\frac{v}{R}\right)^2$. Como el momento de inercia respecto del eje de rotación es $I=\frac{1}{2}mR^2$ la expresión anterior equivale a $\dst\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{4}mv^2=\frac{3}{4}mv^2$.

Como vemos la velocidad de paso por el punto de equilibrio, $\dst v=A\sqrt{\frac{2k}{3m}}$ es proporcional a la amplitud, lo que nos asegura el carácter armónico de las oscilaciones (a veces esto sólo es cierto si las oscilaciones son de pequeña amplitud, como sucede con el péndulo simple), y con pulsación $\dst\omega=\sqrt{\frac{2k}{3m}}$, luego el período de las oscilaciones es $\dst T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{3m}{2k}$

Otra alternativa para ver el carácter armónico de la oscilación, más incómoda, la tienes aplicando la segunda ley de Newton, tanto traslacional como rotacional, y verificar que la aceleración es restauradora y proporcional a la elongación.

[bruno_uy]

Re: Oscilaciones, cilindro unido a resorte

muchas gracias, me había confundido con el radio si.

No me queda claro a qué se le llama pulsación de oscilación para mi en la ecuación de movimiento de un M.A.S. $x(t) = Acos (\omegat + \delta)$ aquí $\omega$ representa la velocidad angular, el concepto de pulsación angular no lo tengo definido.

Y por otro lado: para demostrar que el cdm del cilindro realiza un M.A.S. qué es lo que tengo que hacer? dar la ecuación de posición en función del tiempo? ya que se halló el período pero con eso queda completa la demostración?

[Alriga]

Re: Oscilaciones, cilindro unido a resorte

No me queda claro a qué se le llama pulsación de oscilación para mi en la ecuación de movimiento de un M.A.S. $x(t) = Acos (\omega t + \delta)$ aquí $\omega$ representa la velocidad angular, el concepto de pulsación angular no lo tengo definido.

Imagínate una partícula que realiza un movimiento circular uniforme de radio R con velocidad angular $\omega$ El movimiento de la PROYECCION de la partícula sobre un diámetro fijo, un vaivén desde R hasta –R, es uno de los ejemplos más clásicos de M.A.S.

$x(t)=R \cos (\omega t)$

En este caso la $\omega$ de esta fórmula coincide con la velocidad angular de la partícula giratoria, aunque el MAS sea un vaivén en el que no hay ningún ángulo físico. De este ejemplo probablemente proviene el llamarle velocidad angular a la $\omega$ de un MAS, aunque sea un MAS en el que no hay ningún ángulo físico ni ninguna velocidad angular física.
Otro ejemplo muy típico de MAS es el de una partícula en el extremo de un muelle que se separa inicialmente una distancia A de su posición de equilibrio

$x(t)=A \cos (\omega t)$

Aquí aun está más claro que no hay ningún ángulo físico, y a la constante $\omega$ que multiplica al tiempo se le “bautiza” pulsación.

Y por otro lado: para demostrar que el cdm del cilindro realiza un M.A.S. qué es lo que tengo que hacer? dar la ecuación de posición en función del tiempo? ya que se halló el período pero con eso queda completa la demostración?

Las 4 vías más sencillas para demostrar que un movimiento es Armónico Simple es demostrar que:

1) $\boxed{x(t)=A \cos (\omega t+\delta)}$ o que

2) $\boxed{F=-k \ x}$ o que

3) $\boxed{a=-\omega^2 \ x}$ Esta vía es a la que arivasm te ha descrito como

... verificar que la aceleración es restauradora y proporcional a la elongación ...

4) Que cumple la ecuación diferencial $\boxed{\ddot x + \omega^2 \ x=0}$

Saludos.

[bruno_uy]

Re: Oscilaciones, cilindro unido a resorte

muchas gracias por las respeustas.

Imagínate una partícula que realiza un movimiento circular uniforme de radio R con velocidad angular $\omega$ El movimiento de la PROYECCION de la partícula sobre un diámetro fijo, un vaivén desde R hasta –R, es uno de los ejemplos más clásicos de M.A.S.

$x(t)=R \cos (\omega t)$

En este caso la $\omega$ de esta fórmula coincide con la velocidad angular de la partícula giratoria, aunque el MAS sea un vaivén en el que no hay ningún ángulo físico. De este ejemplo probablemente proviene el llamarle velocidad angular a la $\omega$ de un MAS, aunque sea un MAS en el que no hay ningún ángulo físico ni ninguna velocidad angular física.

Saludos.

La última pregunta, a que le llamas ángulo físico? a la fase inicial?

Tratando de terminar de entender la explicación, y repasando, veo que el movimiento armónico simple es la proyección de un movimiento circular en el eje, por lo tanto la $\omega$ queda definida inmediatamente.
Recopilando un poco: Parto de la ecuación diferencial: $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2 } + \displaystyle\frac{kx}{m } = 0$
entonces digo que la solución es de la forma: $x = Acos(\omega t + \delta)$

Por tanto:
$\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2 } = -A \omega^2 cos(\omega t + \delta)$

entonces sustituyo: $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2 } + \displaystyle\frac{kx}{m } = -A \omega^2 cos(\omega t + \delta) + \displaystyle\frac{k}{m } Acos(\omega t + \delta) = 0$

de aqui sale que:
$\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m }}$

Y según tenía entendido siempre es la velocidad angular, si el movimiento es armónico simple no veo que pueda ser de otra manera.

[Alriga]

Re: Oscilaciones, cilindro unido a resorte

La última pregunta, a que le llamas ángulo físico? a la fase inicial?

Un ángulo físico es el que se puede medir. En el movimiento circular de una partícula puedes medir en cada instante el ángulo que forma la línea (partícula)-(centro circunferencia) con un diámetro fijo. Ese ángulo es

$\phi=\omega \cdot t+\delta$

o

$\phi=\omega \cdot t$ Si elijo iniciar a contar el tiempo de forma que $\delta=0$

Y $\omega$ es la velocidad a la que varía ese ángulo, velocidad angular.

... Y según tenía entendido siempre es la velocidad angular, si el movimiento es armónico simple no veo que pueda ser de otra manera ...

En el movimiento rectilíneo de vaivén de una partícula en el extremo de un muelle no hay ningún ángulo real a medir, por eso digo que no hay ángulo físico y por lo tanto, si no hay ángulo no hay velocidad angular física.

La ecuación diferencial para la partícula en el muelle es

$\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2 } + \displaystyle\frac{k}{m} \ x = 0$

Y la solución a esa ecuación diferencial es

$x(t) = A \ \cos \ (\sqrt{\dfrac k m} \ t + \delta)$

A la constante que multiplica al tiempo, (que es la raíz del cociente entre la constante del muelle y la masa de la partícula), la puedes llamar $\omega$ o Beta, o Luna23, ... o Federico, ... como tú quieras. El nombre más correcto es llamarle pulsación del movimiento, pero por abuso de lenguaje debido a la analogía con el movimiento circular, muchas veces se le llama velocidad angular, aunque repito, en el movimiento de vaivén de la partícula en el extremo del muelle no hay ángulo ni velocidad angular con sentido físico.

Buff, me ha salido un poco largo, pero espero que esta vez se entienda, Saludos.

[felmon38]

Re: Oscilaciones, cilindro unido a resorte

Bruno, si aparte de lo que te ha explicado Alriga, que me parece impecable, sigues sin entender por qué se utiliza el mismo signo w para el movimiento rectilíneo con movimiento armónico, piensa que este movimiento es la proyección de un punto que tenga un movimiento corcular uniforme de velocidad w, sobre un diámetro de la circunferencia. La ecuación de la elongación del punto proyectado será x=Rcos(wt+φ).
Saludos

[Alriga]

Re: Oscilaciones, cilindro unido a resorte

Bruno, si aparte de lo que te ha explicado Alriga, que me parece impecable, sigues sin entender por qué se utiliza el mismo signo w para el movimiento rectilíneo con movimiento armónico, piensa que este movimiento es la proyección de un punto que tenga un movimiento corcular uniforme de velocidad w, sobre un diámetro de la circunferencia. La ecuación de la elongación del punto proyectado será x=Rcos(wt+φ).
Saludos

Sí, gracias felmon38, es el ejemplo que ya le había puesto en mi post#4, pero parece que bruno no lo había acabado de entender bien

... Imagínate una partícula que realiza un movimiento circular uniforme de radio R con velocidad angular $\omega$ El movimiento de la PROYECCION de la partícula sobre un diámetro fijo, un vaivén desde R hasta –R, es uno de los ejemplos más clásicos de M.A.S.

$x(t)=R \cos (\omega t)$

En este caso la $\omega$ de esta fórmula coincide con la velocidad angular de la partícula giratoria, aunque el MAS sea un vaivén en el que no hay ningún ángulo físico. De este ejemplo probablemente proviene el llamarle velocidad angular a la $\omega$ de un MAS, aunque sea un MAS en el que no hay ningún ángulo físico ni ninguna velocidad angular física ...

Saludos.

[felmon38]

Re: Oscilaciones, cilindro unido a resorte

Perdona Alriga pero solo me leí el último post, sino no hubiera contestado. bruno ¿cómo no entendíste esa explicación? ¿O es que no la leíste, lo cual es más grave?
Saludos