1r ciclo Oscilaciones, dos resortes

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Un disco de hockey de m = 0.30 kg se desliza sobre una superficie horizontal de hielo entre dos resortes, cada uno con constante k = 1,2 N/m.
Cuando ambos resortes no están deformados, la distancia entre sus extremos es 1,0 m
Grafique la posición en función del tiempo para demostrar que el movimiento es periódico. Si su velocidad en el punto medio de la pista es de 1,5 m/s, determine su período.




Primero intento hallar el período, ya que es la parte que más o menos creo que sé hacer.
planteo que la energía cinética inicial es igual a la energía potencial cuando resorte está completamente comprimido.

$K = E_p \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2 }mv^2 = \displaystyle\frac{1}{2 } k\Deltax^2 \Rightarrow \Delta x = \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k }}v$

Entonces la amplitud del moviemiento sería:

$A = \displaystyle\frac{2\Delta x + 1m}{ 2}$


La velocidad máxima sería la velocidad con la que arranca y se cumple que:
$v_{max} = \omega A \Rightarrow \omega = \displaystyle\frac{v_{max}}{ A}$

Luego: $T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega } = \displaystyle\frac{2\pi}{\displaystyle\frac{v_{max}}{ A} } = \displaystyle\frac{2\pi A }{v_{max}}$

Pero luego para graficar la posición en función del tiempo se supone que tengo que hallarla primero.

$x(t) = Acos (\omega t + \delta)$

siendo $\omega$ y A, las que calculé. Y la fase inicial si arranca en el medio sería 0, puede ser que quede:


$x(t) = Acos (\omega t)$??

[Richard R Richard]

Re: Oscilaciones, dos resortes

Hola Bruno en este problema el disco tiene un movimiento periódico pero no sigue las leyes del Movimiento armónico simple MAS, un a de las razones es que mientras recorre el metro de distancia entre resorte y resorte lo hace a velocidad constante... un movimiento armónico

sigue una función senoidal o cosenoidal.

Te paso unas lineas para ver si lo puedes terminar solo.

Sabes que mientras toque cada resorte el disco si sigue un MAS, como en cada resorte hace medio ciclo, entre los 2 resortes hace un ciclo entero, por lo que una parte del periodo total es el periodo $T=2\pi\sqrt{m/k}$

luego sabiendo la velocidad con la que hace 2 veces el movimiento rectilíneo uniforme, tienes que $t=\dfrac{2L}{v}$

y entonces el periodo del movimiento es la suma del tiempo de ambos movimientos, Pues es el equivalente cuando hace un movimiento rectilíneo uniforme , comprime uno de los resortes, luego sale despedido , hace otro MRU hasta el otro resorte, y comprime al segundo resorte, nuevamente sale despedido y vuelve a pasar por la misma posición.

y lo hara luego de

$T_T=t+T$


la primer formula que intentaste poner es correcta solo que debes separar con espacio los nombres de las letras griegas


$K = E_p \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2 }mv^2 = \displaystyle\frac{1}{2 } k\Delta x^2 \Rightarrow \Delta x = \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k }}v$

el resto de las formulas no tiene aplicación, la amplitud , la frecuencia angular no tienen el significado que le quieres dar, ya que no es un MAS

[bruno_uy]

Re: Oscilaciones, dos resortes

Muchas gracias por tu tiempo y dedicación como siempre Richard.

Hola Bruno en este problema el disco tiene un movimiento periódico pero no sigue las leyes del Movimiento armónico simple MAS, un a de las razones es que mientras recorre el metro de distancia entre resorte y resorte lo hace a velocidad constante... un movimiento armónico

sigue una función senoidal o cosenoidal.

Respecto a esto: Estoy leyendo el Resnick que dice: "el desplazamiento de una partícula en un movimiento periódico puede expresarse siempre en términos de senos y cosenos. Como el término armónico se aplica a las expresiones que contienen estas funciones, el movimiento periódico a menudo se llama también movimiento armónico"

En este ejemplo el movimiento es periódico, con el periodo que me indicaste más arriba, por tanto por más que en un tramo sea constante debería igualemente poder expresarse con un seno o coseno, o no?
Voy a seguir trabajando con el ejercicio, pero me surgió esa duda teórica.

Saludos.

[felmon38]

Re: Oscilaciones, dos resortes

bruno, lo que Resnick quiere decir es que una función periódica, en general, se puede descomponer en una suma de senos y cosenos de distintas frecuencias (es la descomposición en serie de Fourier)
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Oscilaciones, dos resortes

Si el periodo del resorte es

$T_r=2\pi \sqrt{\frac mk}$

y el tiempo en que hace el metro entre ambos resortes es

$T_v=\dfrac Lv=\dfrac {L}{\Delta x \sqrt{\frac km}}=\dfrac {L}{\Delta x}\sqrt{\dfrac mk}$

haciendo que el periodo total del movimiento a $T=T_r+2T_v$

el Número de ciclos periódicos cumplidos es $n$

las ecuaciones de la posición y de la velocidad te quedan
$\left. \begin{aligned}<br /> x(t) & = \Delta x + \Delta x\sin(\sqrt{\frac km}(t-nT)+\pi) \\<br /> v(t) & = \Delta x \sqrt{\frac km}\cos(\sqrt{\frac km}(t-nT)+\pi)<br /> \end{aligned} \right\} \quad<br /> nT\leqslant t < nT+\frac {T_r}2$

$\left. \begin{aligned}<br /> x(t) & = \Delta x + v(t-nT-\frac {T_r}2) \\<br /> v(t) & = \Delta x \sqrt{\frac km}<br /> \end{aligned} \right\} \quad<br /> nT+\frac{T_r}2 \leqslant t < nT+\frac{T_r}2+T_v$

$\left. \begin{aligned}<br /> x(t) & = L+\Delta x + \Delta x\sin(\sqrt{\frac km}(t-nT-T_v-\frac {T_r}2)) \\<br /> v(t) & = \Delta x \sqrt{\frac km}\cos(\sqrt{\frac km}(t-nT-T_v-\frac {T_r}2))<br /> \end{aligned} \right\} \quad<br /> nT+\frac{T_r}2+T_v\leqslant t < nT+T_r+T_v$

$\left. \begin{aligned}<br /> x(t) & = L+2\Delta x - v(t-nT-T_r-T_v) \\<br /> v(t) & = -\Delta x \sqrt{\frac km}<br /> \end{aligned} \right\} \quad<br /> nT+T_r+T_v\leqslant t < (n+1)T=nT+T_r+2T_v$


Esas ecuaciones describen el movimiento del disco en función del tiempo y se pueden representar mediante la suma de senos y/o cosenos entre 1 a $\infty$ funciones de distintas frecuencias como dice el libro , que es aplicar el análisis de Fourier a esta ecuación del movimiento como dice Felmon38

mira este enlace,veras que no se trata de que halles la velocidad o frecuencia angular de este movimiento y representarla con una única función senoidal ,si no que este movimiento puede representarse como la sumatoria de una gran cantidad de funciones senoidales de frecuencia angular $\omega$ y de sus armónicos $2\omega$,$3\omega$,$4\omega$,$5\omega$----