2o ciclo Problema de momento angular con fuerza de roce

[Marcele]

Hola buenas noches, necesito ayuda en como resolver este problema que seria el siguiente:
Considere una partícula de masa m sobre una mesa horizontal atada a una cuerda que la hace girar en torno al punto O y con un roce viscoso de la forma F_r = −c v, siendo c una constante positiva. La partícula tiene un momento angular inicial de l₀ = mr²₀ dθ₀/dt
Calcule el torque ejercido por el roce viscoso
Determine la ecuación diferencial para dl/dt

[JCB]

Hola a tod@s.

Interpreto que la partícula gira con radio $r$ constante en módulo. Considerando que en el plano de la mesa están contenidos $\vec{v}$ y $\vec{r}$, y que además $\vec{v}$ es perpendicular a $\vec{r}$,

$$M=rF\sin\theta=r(-cv)\sin\dfrac{\pi}{2}=-crv$$

Si $L=mr^2\omega=mrv$,

$$\dfrac{dL}{dt}=mr\dfrac{dv}{dt}$$

Igualando (1) con (2),

$-crv=mr\dfrac{dv}{dt}$

$\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{c}{m}dt$

$\displaystyle\int_{v_0}^{v}\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{c}{m}\displaystyle\int_{t_0}^{t}dt$

$v=v_0e^{-\frac{c}{m}(t-t_0)}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Marcele]

Muchas gracias estimado con la ayuda, que tengas un buen dia.

[delmar7]

Hola

Una forma para la segunda parte, la partícula tiene un movimiento circular en el plano de la mesa, centro en O y radio R, considerando un referencia cartesiana XYZ, obviamente el plano coordenado XY coincide con el plano de la mesa y el eje Z es perpendicular con sentido positivo hacia arriba, el vector posición de la partícula es $\vec{r}(t)=R cos \theta \vec{i}+R sen \theta \vec{j}$ evidentemente $\theta(t)$ es una función de t y $\theta$ es el ángulo que forma el vector posición con el semieje positivo de las X, en consecuencia derivando respecto al tiempo se tiene $\vec{v}=-R sen \theta \ \theta ' \vec{i}+R cos \theta \ \theta' \vec{j}$, el momento angular $\vec{l_O}$ respecto a O, es por definición $\vec{l_O}=\vec{r} \ x \ m \vec{v}=mR^2 \theta' \vec{k}$ y derivando respecto a t, se responde la pregunta $\frac{d\vec{l_O}}{dt}=mR^2 \ \theta'' \vec{k}$

Para la primera parte también se podría haber procedido de la siguiente forma, denominado $\vec{\tau}$ al torque de rozamiento respecto a O, se tiene $\vec{\tau}=\vec{r} \ x \ \vec{F_{roz}}$, la fuerza de rozamiento ($\vec{F_{roz}}$) es de sentido contrario a la velocidad relativa de la partícula respecto a la mesa es decir $\vec{F_{roz}}=-c\vec{v}$ esto implica $\vec{\tau}=\vec{r} \ x \ \vec{F_{roz}}=(R cos \theta \vec{i}+R sen \theta \vec{j}) \ x \ (-c(-R sen \theta \ \theta ' \vec{i}+R cos \theta \ \theta' \vec{j}))=-cR^2 \theta' \vec{k}$ observa que si la partícula gira en sentido antihorario $\theta'>0$ el torque es horario

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Partiendo de la expresión de la velocidad $v=v_0e^{-\frac{c}{m}(t-t_0)}$, y derivándola,

$\dfrac{dv}{dt}=-v_0\dfrac{c}{m}e^{-\frac{c}{m}(t-t_0)}$. Sustituyendo esta última en (2),

$\dfrac{dL}{dt}=mr\dfrac{dv}{dt}=-v_0cre^{-\frac{c}{m}(t-t_0)}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Solo aporto que $v_0$ no es dato pero si se calcula como $v_0=\dfrac{L_0}{mr}=\dfrac{d\theta_0}{dt}r$

$\dst\dfrac{dL}{dt}=-\dfrac{cL_0}{m}e^{-\frac{c}{m}(t-t_0)}$

dejando todo en función de datos conocidos $m ,c$ y $L_0$

Saludos