Energía potencial

[Publio]

Hola a todos. En un problema que responde al esquema adjunto, la resolución del mismo comienza indicando que la energía potencial del sistema, teniendo en cuenta que el sistema de referencia se fija a nivel de las poleas y con el eje 'y' positivo hacia abajo, es:






No entiendo por qué son negativas las energías potenciales si el eje 'y' es positivo hacia abajo. ¿Alguien me podría ayudar?

[Richard R Richard]

Si supones que m desciende iniciando con velocidad nula su variación de energía potencial es positiva pues $h_f-h_i$ es positiva (altura final-inicial) ,pero cuando eso sucede M estará ascendiendo por lo que su energía potencial disminuye, pues $H_f-H_i$ es negativo.
Si no hay rozamiento la energía mecánica se conserva, luego la variación de energia cinetica sera positiva para ambos cuerpos. La suma de las variaciones debe ser nula por la conservación, y como vimos que el aporte de la energía cinetica es positivo el de la potencia sera negativo en ese sistema de referencia.
Lo normal es suponer el eje y positivo hacia arriba y los resultados cuadran cuando haces una suma pero aquí debes usar la resta.

De todos modos a no tipear el enunciado estoy especulando con que esa situación sea lo que te piden....
Pero en general debes adaptar las fórmulas de las leyes de conservación para que estás se cumplan en tu marco de referencia , eso implica darles un signo adecuado.

por otro lado ten en cuenta que los cambio en h no serán iguales años cambios en H pues los ángulos de las poleas van variando con la posición. Del mismo modo la variación de velocidad de cada cuerpo no sera la misma ni los cambios en su aceleración, dependerán a cada instante del ángulo de la polea y la masa m.



PD Si tienes que hilar muy fino, y te dan el radio de las poleas existe un pequeño cambio en la longitud de la soga al arrollarse más o menos ángulo sobre la polea, pero el caso más sencillo es considerar a la polea un punto donde está desliza y aplicar trigonometría sencilla para relacionar los cambios de altura entre cuerpos.

[Publio]

Gracias Richard. El texto es el siguiente:

"Un collarín de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de una guía vertical y está unido mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable a un bloque de masa M. La cuerda pasa por dos pequeñas poleas sin rozamiento. Sea h la distancia entre el collarín y la horizontal que pasa por las poleas como se muestra en la figura. Se pide:

a) Valor de h para que el sistema permanezca en equilibrio.

b) Si el sistema se abandona desde el reposo en la posición h = 0, calcular el máximo valor que alcanza h.

Datos: d = 1,2 m M = 6 Kg m = 3 Kg"

No entiendo muy bien que la variación de la energía cinética sea positiva para ambos cuerpos, pues cuando llegan al equilibrio será 0. Perdona, pero los signos de la energía potencial me traen por la calle de la amargura

[JCB]

Hola a tod@s.

a) Una vez alcanzado el equilibrio estático, se cumple que la componente vertical de la tensión $(T=Mg)$ de la cuerda, coincide con el peso de la masa $m$. Imaginemos el triángulo de catetos $h$ y $d$, siendo $l$ su hipotenusa.

$h^2+d^2=l^2$

$l=\sqrt{h^2+d^2}$

Por otra parte, si $\theta$ es el ángulo que forma la cuerda con el eje vertical,

$$\cos\theta=\dfrac{h}{l}=\dfrac{h}{\sqrt{h^2+d^2}}$$

$\sum{F_y}=0$

$Mg\cos\theta=mg$. Sustituyendo (1)

$M\dfrac{h}{\sqrt{h^2+d^2}}=m$. Despejando,

$h=\dfrac{d}{\sqrt{\left(\dfrac{M}{m}\right)^2-1}}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola , si al inicio los bloque no se mueven su energía cinetica es nula, Lugo al final se estarán moviendo y la energía cinetica sera positiva para ambas masas con independencia de la dirección del movimiento.
Cuando la energía potencial aumenta y la energía mecánica se conserva entonces la variación de energía potencial debe ser negativa, eso implica que la energía potencial final sea menor que la inicial , pero como en el sistema de referencia la altura crece en vez de disminuir, lo necesario para reflejar la física de la transformación de energía potencial en cinetica es necesario que el signo de la variación de energía potencial tenga signo contrario a la variación de energía cinetica.

[Publio]

Muchas gracias Richard, intentaré repensar lo que indicas para ver si consigo aclararme un poco.

Muchas gracias, JCB. Veo que lo solucionas aplicando la segunda ley de Newton, yo intentaba hacerlo aplicando la conservación de la energía.

[delmar7]

Solamente para aclarar lo de la energía potencial, cuando una partícula se mueve en un campo de fuerzas conservativo como el gravitatorio o el electróstatico, y las sufre por tener masa o carga eléctrica respectivamente, el trabajo realizado por el campo de fuerzas solamente depende del punto inicial y final del movimiento (no depende de la trayectoria) y esto implica que existe una función que se denomina potencial o energía potencial $\phi$ tal que $W_{fgrav}=-(\phi(punto \ final)-\phi(punto \ inicial))$ en general se tiene para una unidad de masa o carga que la intensidad del campo gravitatorio o electróstatico es igual a menos el gradiente de la función potencial (se ha convenido el signo), en el caso del campo gravitatorio cercano al suelo se tiene $-g=-\frac{d \phi}{dy} \rightarrow {g=\frac{d \phi}{dy}} \rightarrow {gy=\phi(y)}$ esa es la expresión cuando el semieje y positivo es hacia arriba y obviamente para la unidad de masa, para una masa m, se tiene $\phi(y)=mgy$; pero cuando el semieje y positivo es hacia abajo, la intensidad del campo (fuerza gravitatoria por unidad de masa) es $g \vec{j}$ en consecuencia su relación con la función potencial será : $g=- \frac{d \phi}{dy} \rightarrow {\phi(y)=-gy}$ y para una masa m, $\phi(y)=-mgy$

[Publio]

Gracias delmar7. El concepto del gradiente todavía no lo he visto, pero comprendo tu explicación. Aunque sigo sin entender por qué hay que convenir el signo menos.

[Richard R Richard]

. Aunque sigo sin entender por qué hay que convenir el signo menos.

Porque el potencial en el punto final e inicial dependen del valor de las coordenadas en tu sistema de referencia , si cambias el sentido del sistema de referencia, cambia el signo de tus coordenadas y como la variación es la resta de ambos valores , está queda con el signo invertido para .Si usas esa variación sin tener esto en cuenta la cuenta , no se conserva la energía mecánica.

Visto desde el gradiente tienes más potencial cuánto más lejos estás (mayor radio) pero si el potencial es inversamente proporcional al radio en módulo es menor .,.Y si te acercas a la tierra por ejemplo el potencial final es menor que el inicial su variación positiva cuando en realidad necesitas que sea negativa para compensar el aumento positivo de la energía cinetica.

Si $r<R$ entonces $\dfrac{GM}{r}>\dfrac{GM}{R}$

Observa los signos menor y mayor en la forma de hacer que ambos signos sean iguales según el sistema de referencia es multiplicando por -1 ambos miembros es decir cambiarle el signo. Por eso el gradiente indica con su signo como varía el potencial al incrementar la variable en este caso el radio.

[Publio]

Gracias Richard. Creo que mi problema era que quería entender el signo menos en la definición como una verdad absoluta y no puede ser así. Hay que tener en cuenta el sistema de referencia en el que se ha definido.

[Richard R Richard]

Me alegra lo compendas.
Lo natural es usar el potencial gravitatorio poniendo el cero en el centro de la tierra, con el radio creciendo en las tres direcciones espaciales.
En nuestra vida diaria el cálculo de la cinemática con tal potencial se vuelve complejo o difícil, pero como el valor de la gravedad varía muy poco con la altura al nivel de la superficie terrestre, suponer el valor de la aceleración constante no introduce grandes errores. Definido el modulo de g , podemos imaginar sistemas de referencia arbitrarios , si tenemos el suficiente cuidado de que los signos propuestos no introduzcan errores en los cálculos cinemáticos y dinámicos.
El caso que presentas con la altura creciendo hacía abajo es antinatural o antiintuitivo pero un análisis de la conservación de la energía te dará cualitativamente que signo usar para el potencial gravitatorio.
En ausencia de otras fuerzas todo cuerpo en reposo acelera hacía abajo, esto hace que la energía cinetica aumente (sera positiva) por lo que la variación de energía potencial debe resultar negativa con independencia del sistema de referencia que montes para que se conserve la energía mecánica, luego si la altura es positiva y crece desde cero, a la altura de reposo y hacía abajo es natural ponerle signo negativo ya que una variación positiva de altura resultará en una variación negativa del potencial gravitatorio como necesitas.

Saludos

[Josefa_Diaz]

Hola a todos. En un problema que responde al esquema adjunto, la resolución del mismo comienza indicando que la energía potencial del sistema, teniendo en cuenta que el sistema de referencia se fija a nivel de las poleas y con el eje 'y' positivo hacia abajo, es:






No entiendo por qué son negativas las energías potenciales si el eje 'y' es positivo hacia abajo. ¿Alguien me podría ayudar?

Hola espero estar aún a tiempo de ayudarte. La respuesta es porque el signo no depende de la elección del eje y, sino de la dirección del campo gravitacional. En particular cuando colocas el eje positivo hacia abajo, la energía potencial sería U=-mgh, por eso te da negativo. Espero haberte ayudado.

Saludos

Josefa

[Publio]

Me alegra lo compendas.
Lo natural es usar el potencial gravitatorio poniendo el cero en el centro de la tierra, con el radio creciendo en las tres direcciones espaciales.
En nuestra vida diaria el cálculo de la cinemática con tal potencial se vuelve complejo o difícil, pero como el valor de la gravedad varía muy poco con la altura al nivel de la superficie terrestre, suponer el valor de la aceleración constante no introduce grandes errores. Definido el modulo de g , podemos imaginar sistemas de referencia arbitrarios , si tenemos el suficiente cuidado de que los signos propuestos no introduzcan errores en los cálculos cinemáticos y dinámicos.
El caso que presentas con la altura creciendo hacía abajo es antinatural o antiintuitivo pero un análisis de la conservación de la energía te dará cualitativamente que signo usar para el potencial gravitatorio.
En ausencia de otras fuerzas todo cuerpo en reposo acelera hacía abajo, esto hace que la energía cinetica aumente (sera positiva) por lo que la variación de energía potencial debe resultar negativa con independencia del sistema de referencia que montes para que se conserve la energía mecánica, luego si la altura es positiva y crece desde cero, a la altura de reposo y hacía abajo es natural ponerle signo negativo ya que una variación positiva de altura resultará en una variación negativa del potencial gravitatorio como necesitas.

Saludos

Muchas gracias Richard por la explicación y perdona por la tardanza en la contestación pero no he podido antes.

[Publio]

Muchas gracias Josefa, espero tenerlo ya claro. Otra cosa será saber aplicarlo en los problemas.