2o ciclo Movimiento curvilineo de partículas (dinámica vectorial)

[CarlosG38]

Buenas noches, quisiera pedirles una ayuda o explicación de como puedo llegar la solución del siguiente ejercicio:

- El cable que conecta el malacate A con el carro B se enrolla a una rapidez constante de 5 pies/s, cuando $\theta = 60 ^{\circ}$, determine la velocidad del carro $\dot{\theta}$, y la aceleración del carro $\ddot{\theta}$, no tenga en cuenta el radio del malacate.

Tengo entendido que hay que resolver por medio de coordenadas radial-transversal, pero no he podido avanzar en el ejercicio.
Nota: la altura del malacate al carro son 12'

[Richard R Richard]

Un grafico para ver de donde es tomado $\theta$ es una buena ayuda,

De buenas a primeras sin verlo diría que solo tienes que plantear la ecuación trigonométrica que dará la posición angular del carro en función del tiempo,teniendo en cuenta las longitudes y angulo iniciales, derivar esa ecuación para hallar la velocidad y derivar nuevamente para hallar la aceleración.

[CarlosG38]

Ya pude adjuntar la imagen del ejercicio, es que antes no me dejaba la página. Richard R Richard

[Richard R Richard]

Fíjate que

$\theta =\arctan\left(\dfrac{12}{\sqrt{l^2-12^2}}\right)$

O bien

$\theta =\arcsin\left(\dfrac{12}{l}\right)$ Escoje una de las dos.

Como $\theta=f(l(t))$

Dónde $l$ es la longitud de la soga

para hallar su derivada hay que aplicar la regla de la cadena

$\dot \theta=\dfrac{\partial \theta}{\partial t} =\dfrac{\partial f}{\partial l}\dfrac{\partial l}{\partial t}=\dfrac{\partial f}{\partial l}v$

Reemplaza , calcula la derivada para cuando $\theta$ es 60

Fíjate si llegas a la segunda derivada para hallar la aceleración

[JCB]

Hola a tod@s.

Si entiendo bien, la velocidad del carro, es en todo momento $v_x=v\cos\theta$ (1). Por otra parte,

$\dfrac{h}{x}=\tan\theta$

$x=\dfrac{h}{\tan\theta}$

$v_x=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{h\cos^2\theta}{\dot{\theta}}$ Atención: esta derivada no es correcta, quedando invalidado todo lo que sigue a continuación.

Igualando la última expresión con (1), resulta $\dot{\theta}=\dfrac{h\cos\theta}{v}$, que es la velocidad angular de la cuerda en el tramo que une el malacate (o cabrestante) y el carro.

Finalmente, y si no voy errado, $a_x=\dfrac{dv_x}{dt}=v(-\sin\theta)\dot{\theta}=-h\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{h}{2}\sin2\theta$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola, todo muy bien y claro, pero están pidiendo velocidad y aceleración angular y no la velocidad y aceleración lineal en el eje $x$ cuando $v$ es constante en módulo pero con dirección variable con en ángulo $\theta$

[JCB]

Hola, todo muy bien y claro, pero están pidiendo velocidad y aceleración angular y no la velocidad y aceleración lineal en el eje $x$ cuando [tex]v[t/ex] es constante en módulo pero con dirección variable con en ángulo $\theta$

Hola a tod@s.

Cierto es, Richard R Richard, pero me tomé la pequeña licencia de considerar más interesante calcular $v_x$ y $a_x$. En cualquier caso, en mi mensaje # 4 ya indiqué $\dot{\theta}=\dfrac{h\cos\theta}{v}$. En consecuencia, seuo, $\ddot{\theta}=\dfrac{h}{v}(-\sin\theta)\dot{\theta}=-\dfrac{h^2\sin 2\theta}{2v^2}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Aplicando las reglas de las derivadas y la regla de la cadena

$\dfrac {\mathrm{d} \left ( \arcsin x \right )}<br /> {\mathrm{d} x}=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}$

$\dfrac {\mathrm{d} \left ( x^n \right )}<br /> {\mathrm{d} x}=nx^{n-1}$


$\theta =\arcsin\left(\dfrac{12}{l}\right)$

$\dot \theta=\dfrac{\partial \theta}{\partial t}=\dfrac 1{\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{l}\right)^2}}(-12)l^{-1-1}v$

$\dot \theta=-\dfrac {12v}{l^2\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{l}\right)^2}}$

$\dot \theta=-\dfrac {12v}{l\sqrt{l^2-12^2}}$


ahora sabiendo que $l$ es funcion de $t$ y que $v$ es constante osea que $\dfrac{\partial v}{\partial t}=0$ y que $\dfrac{\partial l}{\partial t}=v$

aplicamos la regla de derivación de los cocientes, de los productos de funciones y la regla de la cadena para hallar la segunda derivada


$\ddot \theta=\dfrac{\partial \left(-\dfrac {12v}{l\sqrt{l^2-12^2}}\right) }{\partial t}$


$\ddot \theta=\dfrac{12v^2(2l^2 - 12^2)}{l^2 \sqrt{l^2 - 12^2}^3}$


Cabe aclarar que cuando $\theta =60\°$ tenemos que $l=\dfrac{12m}{\sin60}=13.85m$ solo hay que reemplazarlo en la formula para calcular el valor numérico

Saludos