igualdad entre ángulos

[Publio]

Hola a todos. Perdonad por la consulta pero me estoy volviendo un poco tarumba. Los ángulos $\theta$ y $\varphi$ del gráfico adjunto ¿son iguales o diferentes? Yo creo que son diferentes porque son triángulos isósceles que comparten un lado pero los dos lados iguales de cada uno son diferentes, por lo que deberían subtender ángulos distintos; pero en un video de youtube sobre el caracter vectorial de la velocidad angular el profesor dice que son iguales.

¿Alguien me puede dar algo de luz?

[JCB]

Hola a tod@s.

Para el triángulo superior situado en un plano horizontal, sea $R$ la longitud de los dos lados formados uniendo el centro con la circunferencia. Aplico el teorema del coseno para determinar la longitud del tercer lado.

$a^2=R^2+R^2-2RR\cos\theta=2R^2-2R^2\cos\theta=2R^2(1-\cos\theta)$

Para el otro triángulo, sea $l$ la longitud de los dos lados formados uniendo el origen del sistema de coordenadas con la circunferencia. Aplicando también el teorema del coseno,

$a^2=l^2+l^2-2ll\cos\phi=2l^2-2l^2\cos\phi=2l^2(1-\cos\phi)$

Igualando las dos expresiones, se comprueba que $\phi=\theta$, solo si $l=R$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Publio]

Muchas gracias JCB. Me confirmas entonces lo que yo pensaba. Me quitas un peso de encima.

[JCB]

Hola a tod@s.

De todas maneras, sí que es cierto que si eliges el sistema de coordenadas dibujado, o bien otro con origen en el centro de la circunferencia, y si consideras una partícula que describe esa circunferencia a una velocidad angular $\vec{\omega}=\omega\hat\jmath$, la velocidad lineal resultará la misma.

Utilizando el sistema de referencia dibujado, supongamos que el vector posición de la partícula es $\vec{r}=x\hat\imath+y\hat\jmath+z\hat k$

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\omega z\hat\imath-\omega x\hat k$

Utilizando un sistema de referencia con origen en el centro de la circunferencia, el vector posición de la partícula es $\vec{r}=x\hat\imath+z\hat k$

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\omega z\hat\imath-\omega x\hat k$

Saludos cordiales,
JCB.

[Publio]

Sí, las velocidades serán iguales, pero los ángulos, entiendo, que siguen siendo diferentes.

[Richard R Richard]

Los ángulos $\theta$ y $\phi$ son diferentes en todo momento , salvo que la altura z entre el vértice de $\theta$ y el vértice de $\phi$ sea nula $z=0\vec k$.
Lo que te propone JCB es que tanto con sistema de referencia basados en $\theta$ o $\phi$ puedes calcular la velocidad instantánea de rotación vectorialmente y arribaras al mismo resultado ya que la proyección del radio inclinado sobre la perpendicular a la velocidad angular es la misma para los dos vectores radiales.

[Publio]

Muchas gracias a los dos, queda meridianamente claro.