1r ciclo Calculando el radio orbital de un satélite geoestacionario además de su nueva órbita

[G502]

Los satélites de comunicaciones son geoestacionarios, es decir, describen órbitas ecuatoriales en torno a la Tierra con un período de revolución de 1 día, igual al de rotación de nuestro planeta. Por ello, la posición aparente de un satélite geoestacionario, visto desde la Tierra, es siempre la misma.

1. Calcule el radio de la órbita geoestacionaria

2. Suponga que la energía mecánica del satélite aumenta al doble. Describa la órbita resultante.

Hola. ¿Cómo podría resolver la pregunta 2 de este ejercicio? La pregunta 1 la pude resolver con la tercera Ley de Kepler, con el supuesto que el período de tal satélite T es de 1 [día]. Con eso (T^2/R^3)=C con C la constante que involucra la masa de la tierra, la constante universal G.

Para la pregunta 2, según wikipedia (https://es.wikipedia.org/wiki/Órbita...ste%20a%20Este.), la órbita de un satélite geoestacionario es circular, es decir, $\epsilon=0$ (la excentricidad). ¿Hay alguna relación entre la energía mecánica y la excentricidad? ya que tengo entendido que si la excentricidad está en ciertos valores numéricos, se tendrá una órbita circular, elíptica, hiperbólica etc.
Gracias.

[Richard R Richard]

Hola, vayamos por el primer apartado

la definición que haces es correcta y el cálculo

$\dfrac{T^2}{R^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$

$R=\sqrt[3]{\dfrac{GM T^2}{4\pi^2}}$

$R=\sqrt[3]{\dfrac{\notcien{6.67}{-11}\notcien{5.972}{24} (86400)^2}{4\pi^2}}=42231625m\equiv42231.625km$ corregido

la energía mecánica de una orbita es la suma de la energía potencial y la de la cinetica

la velocidad de la orbita estacionaria, la calculas sabiendo que es una trayectoria circular de radio R y que tardas 1 dia en recorrer

$v=\dfrac{2\pi R}{T}=\dfrac{2\pi 42231.625km}{86400s}=3.071Km/s$

o bien

$v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}=3.071km/s$

la masa de la nave no la conoces por lo que calculas la energía mecánica especifica ()

$\dfrac{E_m}{m}=\dfrac{1}{2}v^2-\dfrac{GM}{R}=-\dfrac{GM}{2R}$


si ahora la duplicas

$\dfrac{E_{2m}}{m}=-\dfrac{GM}{R}$

Bien , el acto de duplicar la energía mecánica manteniendo la posición radial, podemos interpretarlo como que la nave recibió una aceleración instantáneamente , que ahora debes evaluar en base a la excentricidad si lo prefieres, en que orbita se ha convertido.

Puedes continuar esto guiándote por la entrada blog Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas de Alriga

entonces la velocidad a la que aceleró/deceleró sale del nuevo valor de la energía mecánica

Si no he metido mal los dedos en el teclado

$\cancel{-\dfrac{GM}{R}}=\dfrac{1}{2}v_p^2\cancel{-\dfrac{GM}{R}}$

como la energía mecánica es igual a la energía potencial de la orbita, la energía cinetica es nula es decir ,la nave se ha quedado sin velocidad y caerá directo a la tierra.


Pd.. si el enunciado indicara que duplica la velocidad, sería otra la orbita resultante. lo contradictorio es que diga aumenta al doble cuando la energía mecánica es negativa y el doble es precisamente menor que la energía inicial, es decir disminuye en vez de aumentar.

[Alriga]

Richard, nota que hay algún error "de dedo" al usar la calculadora, si repites el cálculo del radio orbital con los valores que has dado, verás que no se obtiene ~41803 km sino ~42232 km.
Saludos.

[Richard R Richard]

He podido cambiar de anteojos pero no de dedos...

[Alriga]

Intento aportar alguna información adicional a la excelente respuesta de Richard R Richard

1)

El primer apartado se puede resolver alternativamente al uso de la 3ª Ley de Kepler, usando la 2ª ley de Newton y la Ley de Gravitación Universal

$F=G\dfrac{m M}{r_g^2}$

Como la órbita es circular, la aceleración es centrípeta:

$a=\dfrac{v^2}{r_g}=\omega^2 r_g=\left ( \dfrac{2 \pi}T \right )^2 r_g$

Aplicando $F=m \cdot a$

$G\dfrac{m M}{r_g^2}=m \ \left ( \dfrac{2 \pi}T \right )^2 r_g$

Simplificando se obtiene una expresión idéntica a la 3ª ley de Kepler para el caso de órbita circular.

$r_g=\sqrt[3]{\dfrac{GM T^2}{4\pi^2}}$

2. Suponga que la energía mecánica del satélite aumenta al doble....

La energía mecánica específica inicial de la órbita circular es, ( a partir de aquí ver Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas )

$\epsilon_i=-\dfrac{G M}{2 r_g}$


2.1)

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es negativa. "Aumentar al doble" un número negativo se puede interpretar que su valor absoluto pase a ser la mitad. Si la interpretación es esa, ello conlleva que los cohetes del satélite han causado un aumento de la velocidad, la órbita pasa a ser elíptica con perigeo $r_g$ y semieje mayor $a$ que se calcula a partir de:

$\epsilon_f=\dfrac{\epsilon_i}2=-\dfrac{G M}{4 r_g}$

La energía mecánica específica de una órbita elíptica es:

$\epsilon_f=-\dfrac{G M}{2 a}$

Igualando:

$a=2 r_g$

Se obtiene que el semieje mayor de la nueva órbita elíptica es el doble del radio de una órbita geoestacionaria.

En el perigeo de una elipse se cumple en general:

$r_p=a(1-e)$

En nuestro caso:

$r_g=2 r_g (1-e)$

Despejamos la excentricidad de la elipse:

$e=0.5$


2.2)

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es negativa. Si ahora interpretamos que "Aumentar al doble" un número negativo equivaldría a que su valor absoluto pase a ser el doble:

$\epsilon_f=- 2 \ \dfrac{G M}{2r_g}=-\dfrac{G M}{r_g}$

En general se cumple siempre:

$\epsilon =\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r$

Igualando

$\dfrac{v^2}2=-\dfrac{GM}{r_g}+ \dfrac{GM}{r_g}=0$

$v=0$

El satélite ha frenado haciendo su velocidad cero. Y como bien te ha explicado Richard R Richard , el satélite caería en línea recta hacia el centro de la Tierra.

Saludos.

[Richard R Richard]

También había pensado que en vez de decir "energía mecánica" se refería en realidad a la "energía cinética", entonces, si tiene un poco más de sentido aumentarla al doble , acelerando hasta que la velocidad crezca en un factor $\sqrt2$.