Secundaria Cálculos en órbitas planetarias (Problema EBAU)

[Xaora]

Buenos días,
La semana pasada en la EBAU de Galicia pusieron el siguiente problema:
El período de Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximadamente 12 veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente órbita. Considerando circulares las órbitas de los dos planetas, determine a) la relación entre los radios de dichas órbitas; b) la relación entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas.
En las soluciones que subieron esta semana no entiendo cómo resolvieron el apartado b):

g_J/g_T=M_J/M_T•R_T²/R_J²

La relación entre los radios se obtenía en el apartado a), sin problema, pero en la relación de las masas ponen: M_J=12•M_T. No sé de donde lo sacan. Veo que coincide con el radio de las órbitas, pero no lo entiendo. Gracias de antemano por las respuestas.
Un saludo!

[Richard R Richard]

La primer parte sale de igualar
$\dfrac{T_J^2}{R_J^3}=\dfrac{T_T^2}{R_T^3}$

Y usar la relación de periodos para calcular la relación de radios,por simple despeje.
.

La segunda igualas la relación entre aceleraciones centrípetas .

Sabes que en órbita circular
$v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$

de dónde sale

$$v^2=\dfrac{GM}{R}$$

$$\dfrac{a_J}{a_T}=\dfrac{\dfrac{v_J^2}{R_J}}{\dfrac{v_T^2}{R_T}}$$

Reemplazando lo que vale 1 para cada planeta en la 2

$$\dfrac{a_J}{a_T}=\dfrac{\dfrac{GM_s}{R_J^2}}{\dfrac{GM_s}{R_T^2}}$$

Que se podía obtener de Manera directa sabiendo la aceleración de la gravedad del sol en Júpiter y en la Tierra.

Así

$$\dfrac{a_J}{a_T}=\dfrac{R_T^2}{R_J^2}$$

Me había equivocado por intentar seguir la solución dada.

[Xaora]

Gracias por la respuesta, pero lo que no sé es cómo en esa última expresión que pones, sustituyen M_J=12•M_T, cuando el enunciado no daba ese dato, solo decía que el radio de la órbita de Júpiter era 12 veces el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol.

[Richard R Richard]

Jupiter es 1521 veces más masivo que la tierra y no he usado aún ese dato.

Masa de Júpiter $=\notcien{1.898}{27}kg$

Masa de la Tierra=$=\notcien{5.972}{24}kg$
Revisa que he modificado mí respuesta.

[Xaora]

Puedo poner aquí el enlace a la solución para que puedas ver lo que te digo?

[Richard R Richard]

Si no es un enlace comercial o temporal que mañana no esté puedes ponerlo.

[Richard R Richard]

Lo que piden es la relación entre las aceleraciones de los planetas en su órbita respecto del sol y no la relación entre la gravedad de ambos planetas en sus superficie.

[Xaora]

Lo sé, pero por lo que dices y por lo que creo ponen mal la solución del apartado b). La resolución que ponen es esta.

[Richard R Richard]

Evidentemente está mal no está comparando fuerzas que si depende la masa del planeta en cuestion Pongo en consideración de otros foreros que revisen el resultado pero creo que mi solucion es correcta.

[Alriga]

El período de Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximadamente 12 veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente órbita. Considerando circulares las órbitas de los dos planetas, determine

a) la relación entre los radios de dichas órbitas;

b) la relación entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas

a) Aplicando la 3ª ley de Kepler:

$\dfrac{T_j^2}{r_j^3}=\dfrac{T_t^2}{r_t^3}=cte$

Despejando:

$\dfrac{r_j}{r_t}=\sqrt[3]{\left ( \dfrac{T_j}{T_t} \right )^2 \ }=\sqrt[3]{12^2}=5.24$

b) Para resolver el apartado (b) del ejercicio con los datos que da el enunciado y el resultado del apartado (a) , notar que las aceleraciones centrípetas de ambos planetas en sus órbitas (supuestas circulares) en torno al Sol, en función de la velocidad angular orbital y el radio orbital son:

$a_j=w_j^2 r_j$

$a_t=w_t^2 r_t$

La velocidad angular en función del período orbital:

$a_j=\left ( \dfrac{2\pi}{T_j}\right )^2 r_j$

$a_t=\left ( \dfrac{2\pi}{T_t}\right )^2 r_t$

Dividiendo ambas expresiones miembro a miembro.

$\dfrac{a_j}{a_t}=\left ( \dfrac{T_t}{T_j}\right )^2 \dfrac{r_j}{r_t}$

Y por lo tanto:

$\dfrac{a_j}{a_t}=\left ( \dfrac{1}{12}\right )^2 \ 5.24=0.0364$

b) Alternativamente, lo que intenta hacer el solucionario, si lo hiciera bien sería:

$F=m \cdot a$

$\dfrac{G \ \cancel m \ M_{\sun}}{r^2}=\cancel m \cdot a$

Aplicándolo a Júpiter y a la Tierra:

$\dfrac{G \ \cancel m_j \ M_{\sun}}{r_j^2}=\cancel m_j \cdot a_j$

$\dfrac{G \ \cancel m_t \ M_{\sun}}{r_t^2}=\cancel m_t \cdot a_t$

Despejando:

$a_j=\dfrac{G M_{\sun}}{r_j^2}$

$a_t=\dfrac{G M_{\sun}}{r_t^2}$

Dividiendo miembro a miembro:

$\dfrac{a_j}{a_t}=\dfrac 1{\left ( \dfrac{r_j}{r_t} \right )^2}=\dfrac 1{5.24^2}=0.0364$

Lo que dice el solucionario (adjunto abajo) es una auténtica burrada

Saludos.

[Xaora]

Muchas gracias! Yo la solución que tenía era sin las masas y no entendía de donde salían y aún menos de donde sacaba la relación entre ellas.
Pues esa es la solución y los criterios de corrección que da el grupo de trabajo que puso el examen

[Alriga]

Lo sé, pero por lo que dices y por lo que creo ponen mal la solución del apartado b). La resolución que ponen es esta.

Veo que hoy ya han corregido el pdf del enlace, ahora ya da la solución correcta, saludos.