Secundaria Leyes de Kepler

[crishchess]

Hola tengo dudas con la siguiente pregunta:

En una galaxia lejana, se encuentra un sistema solar similar al nuestro. Este está formado por una estrella del doble de la masa del Sol y también de cinco planetas, donde uno de ellos posee las mismas características que la Tierra y cuya distancia media entre él y la estrella a la que orbita es idéntica a la que existe entre la Tierra y el Sol. Si el período orbital del nuevo planeta es la mitad que el de la Tierra, ¿Cuál(es) de las siguientes conclusiones podría(n) ser correcta(s)?

I) la constante de la tercera ley de Kepler es la misma para ambos sistemas solares.
II) la constante de la tercera ley de Kepler depende de la masa del cuerpo celeste al cual orbitan los planetas.
III) la fuerza de atracción gravitacional que experimenta el planeta del nuevo sistema solar es mayor que el experimentado por la Tierra en torno al Sol.

Lo que he hecho:

I) Constante tercera Ley planeta tierra: $k = \displaystyle\frac{T^2}{R^3}$

Constante tercera Ley planeta de la galaxia lejana $k = \displaystyle\frac{(T/2)^2}{R^3} = \frac{T^2}{4R^3}$

Falsa las constantes son distintas ya que la constante del planeta de la galaxia lejana es 4 veces mas pequeño

II) Acá tengo dudas porque según la fórmula es $k = \displaystyle\frac{T^2}{R^3}$, es decir, depende del periodo y la distancia media al sol pero el solucionario lo da como verdadero y por eso dudo.

III) Fuerza atracción tierra

$F = \displaystyle\frac{G \cdot M_{sol} M_{tierra}}{d^2}$

Fuerza atracción planeta de la galaxia lejana

$F = \displaystyle\frac{G \cdot 2M_{sol} M_{tierra}}{d^2}$

Verdadera pues experimenta el doble

[Alriga]

Hola crishchess , nota que el enunciado está mal:

1) ...uno [de los planetas] posee las mismas características que la Tierra ... cuya distancia media entre él y la estrella a la que orbita es idéntica a la que existe entre la Tierra y el Sol ... el período orbital del nuevo planeta es la mitad que el de la Tierra.

2) ...un sistema solar similar al nuestro. Este está formado por una estrella del doble de la masa del Sol.

Las condiciones (1) y (2) son mutuamente incompatibles.

El apartado I aplicando la condición (1) se resuelve tal como tú lo has hecho:

$K_t=\dfrac{T_t^2}{a_t^3}$

$K_p=\dfrac{(T_t/2)^2}{a_t^3}$

$$\boldsymbol{K_p=\dfrac 1 4 K_t}$$

Pero si ahora intentamos resolver este mismo apartado aplicando la condición (2)

$K_t=\dfrac{4\pi^2}{G M_{\sun}}$

$K_p=\dfrac{4\pi^2}{G 2 M_{\sun}}$

$$\boldsymbol{K_p=\dfrac 1 2 K_t}$$

La afirmación II que dice "...la constante $K$ de la tercera ley de Kepler depende de la masa del cuerpo celeste al cual orbitan los planetas..." es correcta, ya que si $M$ mayúscula es la masa de la estrella en torno a la que giran los planetas se cumple, (siempre que la masa del planeta sea mucho menor que la masa de la estrella) :

$K=\dfrac{4\pi^2}{G M}$


El apartado III también lo has resuelto correctamente si supones que la masa del planeta es la misma que la masa de la Tierra y que es cierta la afirmación (2) de que la masa de la estrella es el doble que la masa del Sol

$$\boldsymbol{M_e=2M_{\sun}}$$

$$F_p=2 F_t$$

Pero en cambio, si consideras cierta la afirmación (1) entonces resulta que la masa $M_e$ de la estrella debe ser necesariamente:

$M_{\sun}=\dfrac{4\pi^2}G \ \dfrac{a_t^3}{T_t^2}$

$M_e=\dfrac{4\pi^2}G \ \dfrac{a_t^3}{(T_t/2)^2}$

$$\boldsymbol{M_e=4M_{\sun}}$$

$$F_p=4 F_t$$

Resumiendo:

I) la constante de la tercera ley de Kepler es la misma para ambos sistemas solares.

Falso, como hemos visto, en ese sistema estelar de esa lejana galaxia, será o bien la mitad o bien la cuarta parte que en el sistema solar.

II) la constante de la tercera ley de Kepler depende de la masa del cuerpo celeste al cual orbitan los planetas.

Cierto

$K=\dfrac{4\pi^2}{G M}$

III) la fuerza de atracción gravitacional que experimenta el planeta del nuevo sistema solar es mayor que la experimentada por la Tierra en torno al Sol.

Cierto, como hemos visto, la fuerza será o bien el doble o bien 4 veces mayor.


Saludos.

[Richard R Richard]

Hola crishchess , nota que el enunciado está mal:

Coincido,plenamente

solo redundando un poco ,con independencia del enunciado erroneo, se pueden sacar igualmente las conclusiones sobre la veracidad o falsedad de las 3 sentencias.

1)F , si la constante depende directamente de la masa de la estrella y esta cambia, pues la constante no puede ser la misma.

2)V lo acabo de decir en el punto anterior,es verdadero que depende de la masa de la estrella.

3)V la fuerza para un planeta de la misma masa que la tierra a la misma distancia que la tierra , depende directamente de la masa de la estrella, y si la masa de la estrella es mayor , la fuerza será mayor, puede mantenerse en orbita girando con un periodo menor, y mayor velocidad orbital media.

[crishchess]

Solo no entiendo de donde sale el $4\pi$ en la Masa del sol vomo en la estrella ni tampoco en el K.

Edito ahora me di cuenta que también se puede calcular el periodo de esa forma.

Muchas gracias a ambos ya no tengo dudas

Saludos

[Alriga]

...no entiendo de donde sale el $4\pi$ ...

La demostración de la 3ª Ley de Kepler a partir de la 2ª Ley de Newton y de la Ley de Gravitación Universal es muy sencilla en el caso de órbita circular de radio $r$

Ley de Gravitación Universal

$F=G\dfrac{m M}{r^2}$

Como la órbita es circular, la aceleración es centrípeta:

$a=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2 r=\left ( \dfrac{2 \pi}T \right )^2 r$

Aplicando la 2ª ley de Newton $F=m \cdot a$

$G\dfrac{m M}{r^2}=m \ \left ( \dfrac{2 \pi}T \right )^2 r$

Simplificando se obtiene la expresión de la 3ª ley de Kepler para el caso de órbita circular.

$GM=\dfrac{4\pi^2}{T^2} \ r^3$


Para el caso de órbita elíptica de semieje mayor $a$ la demostración es un poco más elaborada, obteniéndose:

$GM=\dfrac{4\pi^2}{T^2} \ a^3$

La demostración la puedes encontrar en 5.2.3 Deducción de la tercera ley de Kepler

Nota que la 3ª ley de Kepler expresada así:

$GM\approx \dfrac{4\pi^2}{T^2} \ a^3$

Es una aproximación válida cuando la masa $M$ de la estrella es mucho mayor que la masa $m$ del planeta que gira a su alrededor. La expresión rigurosa es:

$G(M+m)=\dfrac{4\pi^2}{T^2} \ a^3$

Saludos.

[crishchess]

Muy claro muchas gracias.