Secundaria Fuerza gravitatoria de asteroides

[crishchess]

Hola tengo dudas con el siguiente ejercicio

Dos asteroides de igual masa viajan en rumbo de colisión. Cuando sus centros están separados$1$ $[km]$, se atraen con una fuerza gravitatoria de magnitud $F$. Al colisionar ambos asteroides, a uno de ellos se le adhiere $1/3$ de la masa del otro. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ellos si vuelven a estar separados $1$ $[km]$?

Lo que hecho

Fuerza gravitatoria antes del choque.

$F=\displaystyle\frac{G \cdot m \cdot m}{1^2} = Gm^2$

- Después del choque un asteroide pierde 1/3 de su masa por que quedara con $\displaystyle\frac{2m}{3}$ de masa y el otro asteroide ganará 1/3 de masa por lo que su nueva masa será de $\displaystyle\frac{4m}{3}$

- Por lo que la fuerza gravitatoria después del choque será de

$F_g=\displaystyle\frac{G \cdot \frac{4m}{3} \cdot \frac{2m}{3}}{1^2} = \frac{G8m^2}{9} = \frac{8}{9} F$

Pero el solucionario dice que es F por eso tengo la duda. También tengo la duda con las unidades de la distancia esta bien dejarla en km o debo pasar 1 km a metros.

Muchas gracias.

Saludos

[Alriga]

Tu solución es correcta. Antes, para cualquier distancia "d" :

$F=G\dfrac{m \cdot m}{d^2}=G\dfrac{m^2}{d^2}$

Después:

$m_1=m+\dfrac 1 3 m=\dfrac 4 3 m$

$m_2=m-\dfrac 1 3 m=\dfrac 2 3 m$

Cuando estén a la misma distancia "d" que antes:

$F_1=G\dfrac{m_1 \cdot m_2}{d^2}=\dfrac 8 9 G\dfrac{m^2}{d^2}=\dfrac 8 9 F$

$F_1$ es menor que $F$ como era de esperar: si a la suma de las masas de dos cuerpos $m_1$ y $m_2$ la llamo "M", la máxima atracción gravitatoria mutua a una distancia arbitraria se produce cuando cada uno de los dos cuerpos tiene la misma masa $m_1=m_2=M/2$

Puedes ver la demostración en el hilo Dadas dos masas cuya suma es una cte; la fuerza gravitacional entre ellas es maxima cuando m1=m2

Si quieres que la fuerza quede expresada en unidades del sistema internacional (newton) debes expresar la distancia en metros, no en kilómetros. Pero nota que cuando compares dos fuerzas, $F$ con $F_1$ , la comparación será correcta siempre que ambas estén expresadas en las mismas unidades, sean cuales sean éstas.

Saludos.