1r ciclo Problema con objeto celeste

[Visitante]

Estoy intentando resolver este problema pero la verdad es que no sé cómo cogerlo, dice así:

En un objeto celeste de radio R, la aceleración de la gravedad g a una distancia x del centro del objeto viene dada por $g={g}_{ 0}\frac{{R}^{ 2}}{{x}^{ 2} }$, donde ${g}_{0}$ es la aceleración debida a la gravedad en la superficie del objeto y $x>R$. Para la Luna ${g}_{0 }=1,63 \frac{m}{ {s}^{2 }}$ y $R=3200 km$. Si se suelta una piedra a partir del reposo desde una altura de $4R$ por encima de la superficie lunar, ¿con qué velocidad impacta la piedra en la luna?
Usando la conservación de la energía sale, pero quiero hacerlo por otro método. Las ecuaciones de la cinemática no las podría usar porque la aceleración no es constante, pero debe de haber alguna manera para que salga porque está en el capítulo de cinemática y no de energía, si la aceleración fuese en función del tiempo sería fácil, pero es en función de x, lo que me fastidia un poco... ¿Alguna idea?

[angel relativamente]

Re: Problema con objeto celeste

Hola Malevolex, este tipo de problemas de mecánica suelen resolverse mediante ecuaciones diferenciales, ¿sabes algo? Tienes que plantear la II ley de newton y hallar $v(x)$ sin más que tener en cuenta que $a=\dfrac{\dd v}{\dd t} = \dfrac{\dd v}{\dd x} \dfrac{\dd x}{\dd t}$

[alexpglez]

Re: Problema con objeto celeste

Ciertamente el cambio de variable para resolver la ecuación diferencial te lleva al tratamiento por energías. Por lo que por energías es la única manera de hacerse (a no ser que quieras hacerlo por un método aproximativo como una serie de potencias para resolver la ecuación diferencial).
Además que por energías como tu incógnita es la velocidad, no necesitas integrar la solución (para después despejar t e ir a la ecuación de la velocidad...), siendo esto mucho más complicado.

[Alriga]

Re: Problema con objeto celeste

Yo opino lo mismo que Angel y Alex, lo que pasa es que si no me equivoco en los cálculos, en este caso particular la ecuación diferencial que sale es muy sencilla de resolver, pues es en variables separadas.

$F=m \ a=m \dfrac{dv}{dt}=m \ \dfrac{dv}{dx}(\dfrac{dx}{dt})=m \ v \ \dfrac{dv}{dx}$

$F=-m \ g_0 \ \dfrac{R^2}{x^2}$

Igualando:

$-v \ \dfrac{dv}{dx}= g_0 \ \dfrac{R^2}{x^2}$

Separando variables:

$v \ dv=-\dfrac{g_0 R^2}{x^2} \ dx$

Integrando en ambos lados:

$\dfrac{v^2} 2+K=\dfrac{g_0 R^2}{x}$

Aplicando las condiciones iniciales, $v=0$ cuando $x=4 \ R$ , se obtiene la constante de integración $K$

Operando:

$v=\sqrt{2 \ g_0 \ R \ (\dfrac R x - \dfrac 1 4)}$

Cuando $x=R$

$v=\sqrt{\dfrac 3 2 \ g_0 \ R}$

Saludos.

[Al2000]

Re: Problema con objeto celeste

...pero debe de haber alguna manera para que salga porque está en el capítulo de cinemática y no de energía...

Una posibilidad equivalente a todo lo que ya te han señalado es usar la conocida fórmula $v^2 = v_0^2 + 2 a x$, que es válida sólo para aceleración constante, pero calculando previamente la aceleración media, cosa sencilla pues tienes la aceleración como función de la posición.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Problema con objeto celeste

... Una posibilidad equivalente a todo lo que ya te han señalado es usar la conocida fórmula $v^2 = v_0^2 + 2 a x$, que es válida sólo para aceleración constante, pero calculando previamente la aceleración media, ...

Pues también es una buena estrategia. La aceleración media entre R y 4R , como bien dice Al200 es sencilla de calcular:

$\dst \overline a= \frac {\dst \int_{R}^{4R}\! \frac {g_0 R^2}{x^2}\,dx}{4R-R} = \frac 1 4 g_0$

Sustituyendo en $v^2 = v_0^2 + 2 \ \overline a \ (x-x_0)$ con $v_0=0$ y $x-x_0=4R-R=3R$ se obtiene la misma expresión para la velocidad que había obtenido yo resolviendo la ecuación diferencial.

Saludos.