Dinámica de un proyectil en el cañón

[juantv]

Buenas, quisiera orientación sobre el planteamiento de ecuaciones de la dinámica de un proyectil en el cañón. El objetivo es poder ver alguna relación de las variables que indiquen las causas de anillamiento en el cañón pero mediante una formulación matemática no tan avanzada.

Inicio el planteamiento con la segunda Ley de Newton

$\sum _{i=1}^{K}\mathbf {F} _{i}=ma$

Considero dos fuerzas, la producida por la combustión de los gases que llamare ${F} _{c}$ y la de rozamiento en el anima (interior del cañon) ${F} _{r}$. Además considerare que la masa del proyectil permanece "constante", tendré:

$\sum _{i=1}^{K}\mathbf {F} _{i}={F} _{c} - {F} _{r}=ma$

De que manera podría ir encontrando relaciones mas explicitas que puedan de alguna manera indicarme que o bien aplicar lubricante en exceso en el anima del cañon producira efectos negativos, anillamiento (que es mi principal interes), o el uso de municion defectuosa ha dichos efectos?

Agradezco de antemano cualquier orientación que se me pueda brindar para abordar el problema.

[Richard R Richard]

Hola juantv

pero mediante una formulación matemática no tan avanzada.

Las mejores conclusiones las sacarás, cuando el modelo matemático que te propongas, para explicar la dinamica del proyectil, sea compleja y no tan lineal como la segunda ley de newton,

veamos unos tips para desarrolla el tema con la profundidad que necesites, que tampoco puedo ahondar demasiado porque no soy experto.

• La Fuerza $F_C$ no es constante sobre el recorrido del cañón, cuando se produce la explosión, los gases comienzan a expandir, (de momento es una expansión adiabática, ya que no hay tiempo de trasmitir calor de los gases durante el breve lapso de la explosión e impulsión) La temperatura de los gases varia en el tiempo, eso hace que la presión varié con el tiempo, pues el volumen de confinamiento aumenta a medida se mueve el proyectil, y presión por sección del proyectil da $F_C$. Incluso cuando el proyectil ya salió del anima, todavía quedan gases en el interior del tubo, que calientan el arma, a lo que se suma la perdida de energía en forma de calor debido al rozamiento.
• Si conoces las energía de la explosión, la masa del proyectil, la forma en que el arma es empuñada( cuanto es lo que patea, la masa del arma),la masa de los gases (combustible quemado) y su velocidad media de salida del anima, puedes calcular la energía cinetica que le puedes imprimir al proyectil, descontando las perdidas por fricción, tanto del aire frente al proyectil, como los de los laterales sobre el cañón , puedes tener en cuenta la caída de presión en la parte trasera del proyectil luego de salir del anima.
• También puedes tener en cuenta el efecto que el rayado le provoca velocidad de giro sobre un eje paralelo a la dirección de disparo, provocar el giro consume energía, y fricción adicional en el ánima.
• La fuerza de rozamiento en un arma es idealmente constante, si no hay obstrucciones, oxido, o lubricante en exceso puntualmente ubicado.
• Cualquier obstrucción, transfiere una fracción momento lineal del proyectil, durante un muy breve periodo de tiempo sobre una sección , área , o región del anima, provocando fuerza elevada de fricción sobre esa área que equivale a un aumento de presión local, y siendo esta mayor al limite elástico del metal del cañón, se producirá una deformación plástica, o anillamiento, de cualquiera de los 3 tipos, el de primer tipo es fácil de imaginarlo, que sucede con un uso prolongado, pero los otros 2 si suceden , creo que solo es debido a negligencia en mantenimiento u operación, no tanto a lo fortuito o falla de diseño.

Cada situación se puede modelar con algunas formulas, dime si es de tu interés desarrollar alguna, que intentaré en lo posible darte idea sencilla.

[juantv]

Buenas, muchas gracias por responder. Intento entender todo lo que me dices. Me gustaría hacer una formulación de la deformación plástica (anillamiento) basado en los siguientes puntos

- Mal uso de lubricantes, que al "solidificarse" y quedar dichos residuos, al pasar el proyectil hagan presión en el anima y cause anillamiento
- Ver si el uso de munición defectuosa puede producir anillamiento
- Inadecuado mantenimiento que estaría ya incluyendo dejar residuos en el ánima.

Algunos datos que tengo son los siguientes:

Tipo de arma: Fusil Galil AR Calibre 5,56 mm

Longitud del cañón: 460 mm
Velocidad de salida del cartucho: 950 m/s
Alcance efectivo: 500 m

Tipo proyectil SS109

Peso del proyectil: 4 g
Peso del cartucho: 13 g (Es decir el proyectil con la vaina)
Presión máxima: 3867 kgf/metro cuadrado (Esta presión no tengo muy claro a que se refiere, supongo a la que puede soportar)

No se si realice mal el calculo de tiempo que tarda en salir del cañón sin considerar el movimiento de rotación por el rayado, a mi me da aproximadamente 0,00096 s.


Agradezco mucho la orientación que se me pueda dar al respecto, para hacer la formulación y ver como y que variables influyen en el anillamiento y de que manera de una manera matemática.

[Richard R Richard]

Hola he estado entretenido tratando de dilucidar a que refiere tu dato de presión máxima, lo mas seguro es que no esté en la unidades que indicas.

veamos , el proyectil cuando tiene la velocidad de 950m/s es porque recibió energía cinetica de $\Delta E=\dfrac12 mv^2=\dfrac 12 0.004kg950^2m^2/s^2= 1805J$

Supongamos que la fuerza de impulsión durante toda la longitud del anima es constante(que no es cierto pero lo hacemos en pos de simplificar, ni tampoco la longitud máxima de impulsión es igual a L la longitud del anima, sino un poco mayor ) El trabajo de la fuerza recibida es igual a la variación de energía cinetica, de donde

$\Delta E=W=\dst \int F\,dx=F\int dx=FL\quad\to\quad F=\dfrac{\Delta E}{L}=\dfrac{1805J}{0.46m}=3923N\equiv\dfrac{3923N}{9.80665N/kgf}=400.12kgf<br />$
esa fuerza no es solo resistida en la longitud del anima sino tambien en su sección como presión es fuerza sobre área

$P=\dfrac{F}{S}=\dfrac{4F}{\pi D^2}=\dfrac{4\cdot400.12}{3.1415 \cdot 0.00556^2 }=16480076,92kgf/m^2$ cifras 4 ordenes mayores a la que posteas. pero menor al limite de resistencia elastica.

Pero veamos, si hay un atasque, la energía cinetica del proyectil se reduce en muy poco recorrido , de modo similar se puede calcular cual es la presión o Tensión a la que es sometido tanto el proyectil como el material del caño,

pongamos un ejemplo en las 2/3 del caño recorrida , una gota seca e lubricante, frena el proyectil solo quitándole la mitad de la energía cinetica que trae consigo, en un recorrido de 1 cm .

La tensión será $\Delta P=\dfrac{(F\cdot \frac23L))/2}{L_f\cdot S}=\dfrac{\dfrac{400.12 \cdot 0.46\cdot 2}{2\cdot 3 }}{0.01\cdot \pi\cdot\dfrac{0.00556^2}{4}}= 252689602,69kgf/m^2$

sabiendo que el acero resiste a la deformación elásticamente hasta el limite de $25000000kgf/m^2$ se ve claramente que supera 10 veces ese valor, por lo que de suceder, deformará la superficie interior del anima, cuanto mas gruesa la sección de acero del tubo, menor será el daño, pero igualmente la superficie interior quedara dañada, para siempre.

Por otra parte , si la munición se parte en el trayecto, generara mayor mayor tensión en algún punto o rayara la superficie interna.

estos son cálculos simples, pero lo puedes profundizar mas , proponerte resolver situaciones mas complejas.

[juantv]

Genial Richard, muchas gracias. Me has ayudado a entender un poco mas como afecta residuos de lubricante o lo que sea, en las presiones que se generan. De nuevo gracias por su orientación.