1r ciclo Rozamiento en pista horizontal

[juan_bahia]

Hola a todos. Necesito ayuda con el siguiente problema.

Una partícula de masa $m$ se mueve hacia la derecha sobre una pista horizontal de tres tramos, teniendo en el punto inicial $x_A$ una rapidez inicial $v_o$.
La superficie de la pista no presenta fricción a excepción del segundo tramo comprendido entre $x_B$ y $x_C$. En este tramo la pista tiene un defecto de pulido dado por $\mu_k(x)=\mu_o.sen((x-x_B).\pi/L)$ con $L=x_C-x_B$.
¿Qué condición se debe cumplir para que la partícula llegue al final del tramo $x_D$?

Agradezco la ayuda

[delmar7]

Hola

Entre A y B, la partícula por no estar sometida a una fuerza horizontal, mantiene su velocidad $v_0 \ \vec{i}$ (considerando positivo hacia la derecha) en el tramo B y C su velocidad disminuye por estar sometida a una fuerza horizontal que se opone a la velocidad (fuerza de rozamiento) y únicamente alcanzará el punto D si y solo si tiene una velocidad mayor que cero en el punto C, ya que luego no hay fuerza horizontal alguna en el tramo C y ¨D. Responder a la interrogante es averiguar la condición para que la partícula llegué a C con una velocidad mayor que cero.

Análisis del tramo B y C

Suponiendo que t=0, se corresponde con el vector posición $\vec{r}(0)=x_B \vec{i}$

La resultante en la dirección vertical es cero (aceleración es nula) en consecuencia, la segunda Ley de Newton implica $-mg \vec{j}+N \vec{j}=0 \Rightarrow{N=mg}$

La resultante horizontal es la fuerza de rozamiento $\vec{F_{roz}}=\mu_k \ N \vec{i}=m a \vec{i}$
Desarrollando esta última ecuación se tiene :

$mg \mu_0 \ sen((x-x_B)\pi/L)=m a \Rightarrow{a=g \ \mu_0 \ sen((x-x_B)\pi/L)} \Rightarrow{va=\mu_0 \ sen((x-x_B)\pi/L) \ v}$

v,x,a son funciones del tiempo, intengrando desde 0 hasta T, es decir hasta el momento en que la partícula toma la posición C

$\int_{0}^{T}va \ dt=\int_{0}^{T}\mu_0 \ sen((x-x_B)\pi/L) \ v \ dt=(L/ \pi) \ \int_{0}^{T}\mu_0 \ sen((x-x_B)\pi/L) \ (\pi/L) v \ dt$

Teniendo en cuenta que $a=v', \ \ ((x-x_B) \pi/L)'=(\pi/L) \ v$, se aplica el teorema de sustitución para integrales y se tiene :

$\int_{v(0)}^{v(T)}{v dv}=(L/ \pi) \mu_0 \ \int_{u(0)}^{u(T)}{sen \ u \ du}$ donde $u=(x-x_B)\pi/L \Rightarrow{u(0)=0, \ u(T)=\pi}$

Evidentemente $v(0)=v_0, \ \ v(T)=v_C$ el resto es operativo, sencillamente considerar la condición para que $v_C>0$

Saludos

[juan_bahia]

Gracias delmar7.
Consulta, no debería tomar la fuerza de rozamiento como negativa?
Osea, no logro apreciar en los cálculos que diferenciaras en que en ese tramo la partícula desacelera.

[Richard R Richard]

Podrías verlo quizá de este otro modo al entrar en la zona de rozamiento, la partícula tiene una cierta energía cinética, a medida que el rozamiento hace su trabajo la energía cinetica cae, luego si al final del tramo queda energía cinetica entonces, la partícula arribara a destino, si ya no hay mas rozamiento. La condición limite es

$E_i=W_{Fr}=\dfrac12 mV_i^2=\dst\int\limits_{x_B}^{x_C}- \mu_o\sin\left (\dfrac{(x-x_B)\pi}{x_C-x_B}\right) m g dx=\mu_o m g\dfrac{x_C-x_B}{\pi}(\cos 0-\cos\pi)=\dfrac{2\mu_o mgL}{\pi}$

entonces $V_i\geq\sqrt{\dfrac{4\mu_o g L}{\pi}}$

[delmar7]

Gracias delmar7.
Consulta, no debería tomar la fuerza de rozamiento como negativa?
Osea, no logro apreciar en los cálculos que diferenciaras en que en ese tramo la partícula desacelera.

Si es verdad me olvide del signo; pero lo demás esta correcto

Saludos