Problema Dinamica Interesante

[adyammichael18]

Ayuda con este problema?

Se tiene un bloque de 0,6 kg sobre una superficie inclinada en forma de cuña de 1,2 kg de masa. La inclinación de la cuña es de 30º con respecto al suelo como puede observarse en la siguiente figura:

El bloque se encuentra a 50 cm del vértice inferior de la cuña.
El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la cuña es = 0.4 y = 0.3.
La cuña se desliza sobre el piso sin ningún tipo de rozamiento.

Se realiza una fuerza F horizontal sobre la cuña hacia la derecha.

Determinar el valor mínimo y máximo de F para que el bloque no se deslice.

Tomando como origen del sistema de referencia el punto del piso que coincide inicialmente con el vértice inferior izquierdo de la cuña y considerando que la fuerza es de 10 N

¿Con que velocidad llega el bloque al extremo superior derecho de la cuña?

¿Qué distancia separa al bloque de la cuña una vez que el bloque llega al suelo?

Calcular la posición del bloque luego de transcurridos 0.5 seg de aplicada la fuerza F.

Se elimina la fuerza F y el rozamiento entre el bloque y la cuña. Se suelta el bloque que se encuentra a 50 cm de vértice inferior de la cuña. Determinar la distancia recorrida por la cuña una vez que el bloque llego al suelo.

[adyammichael18]

En el inciso a) para calcular la fuerza.minima y maxima halle el valor de la aceleracion minima y maxima
aceleracion minima me da 1.41 y la maxima 12.45 m/s2
Alguien me puede ayudar?

[JCB]

Hola a tod@s.

a) Determinar el valor mínimo y máximo de $F$ para que el bloque no se deslice.

Aunque no indicas el procedimiento que has empleado, consideraría que sobre el bloque actúa una fuerza de inercia con dirección horizontal, sentido hacia la izquierda, y con módulo

$F_i=m_b\dfrac{F}{m_b+m_c}$

Considerando un sistema de coordenadas solidario al plano inclinado de la cuña, con el eje $X$ de dirección paralela al plano inclinado (sentido positivo hacia abajo), y si no hay deslizamiento,

a1) $\sum{F_x}=0$

$-F_r+m_bg\sin\theta-m_b\dfrac{F}{m_b+m_c}\cos\theta=0$

$$F_r=m_bg\sin\theta-m_b\dfrac{F}{m_b+m_c}\cos\theta$$

En la dirección $Y$ tampoco hay movimiento,

$\sum{F_y}=0$

$N-m_bg\cos\theta-m_b\dfrac{F}{m_b+m_c}\sin\theta=0$

$$N=m_bg\cos\theta+m_b\dfrac{F}{m_b+m_c}\sin\theta$$

Por último, también debe cumplirse $F_r<\mu_eN$. Sustituyendo las expresiones (1) y (2) en esta última y operando,

$F>\dfrac{(\tan\theta-\mu_e)g}{1+\mu_e\tan\theta}(m_b+m_c)=2,54\ N$, que representa una aceleración $a=1,41\ m/s^2$ (coincide con la tuya).

a2) El valor máximo de $F$ se determina de manera similar, considerando que $F_r$ tiene sentido hacia abajo del plano inclinado.

$F<\dfrac{(\mu_e+\tan\theta)g}{1-\mu_e\tan\theta}(m_b+m_c)=22,42\ N$, que representa una aceleración $a=12,45\ m/s^2$ (también coincide con la tuya).

Como es un ejercicio lo suficientemente extenso, dejo paso a siguientes participantes, reservándome el derecho a intervenir más adelante.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Tomando como origen del sistema de referencia el punto del piso que coincide inicialmente con el vértice inferior izquierdo de la cuña y considerando que la fuerza es de 10 N

¿Con que velocidad llega el bloque al extremo superior derecho de la cuña?

Es algo extraño, si la fuerza es 10 N entonces si $2.54N<F=10N<12.45N$ el bloque acompaña a la cuña, no cae ni sube!!!! o algo anda mal , o es una pregunta capsiosa. (Revisemos el procedimiento por si acaso.)Los siguientes ítems no pueden calcularse salvo el último.

[adyammichael18]

Si Richard esa era una de mis dudas en ese problema y a la ahora determinar esa velocidad del bloque ese dato de F= 10 N tiene q tener un error pq en el inciso a) como bien dio la solucion JCB fuerza minima y maxima tiene q estar comprendida entre 2.54 N y 22,42 N para q el bloque no deslize
Si se quiere q deslize en este caso la fuerza tendria que ser menor que 2.54 N?
Gracias por sus aportes

[Richard R Richard]

Veamos, yo no me llevo bien con los sistemas de referencia solidarios al plano inclinado, así que lo hago por horizontal y vertical x ,y de toda la vida

en general en el sistema mientras el bloque no desliza se cumple la segunda ley de Newton

$$F=(m_b+m_c)a$$

Sobre el bloque tenemos en horizontal

$$N\sin30\pm F_r\cos 30=m_ba$$

y en vertical

$$m_bg-N\cos 30\pm F_r\sin 30=0$$

como el máximo de fracción se tiene cuando $F_r=\mu_eN$ esta última queda

$m_bg-N\cos 30\pm \mu_eN\sin 30=0 \quad\to \quad N=\dfrac{m_b g}{\cos30\mp\mu_e\sin30}$

reemplazando esta ultima en 2 y lo que vale $a$ de la 1


$\dfrac{m_b g(\sin 30\pm \mu_e \cos30)}{\cos30\mp\mu_e\sin30}=F\dfrac{m_b}{m_b+m_c}$

resolviendo tenemos

$F=(m_b+m_c)g \dfrac{\sin 30\pm \mu_e \cos30}{\cos30\mp\mu_e\sin30}$

$F_+=22.41N$

$F_-=2.54N$

confirmando resultados.... 10N esta el rango entre el máximo y el mínimo para que el bloque se mantenga estático.

para que caiga hacia el suelo la fuerza debe ser menor a 2.54N

Saludos

[adyammichael18]

Richard si el dato de la Fuerza menor a 2.54 N pudieras darme solucion a los otros incisos
Gracias por su ayuda.

[Richard R Richard]

Supón una fuerza menor a 2.54N ej 1N , si aplicas al sistema la segunda ley de Newton al centro de masas del conjunto

$a_{CM}=\dfrac{F}{m_c+m_b}$

el sistema de ecuaciones es el mismo que antes lo único que ahora el coeficiente de rozamiento es el dinámico.

Tu nueva incógnita la reacción normal, con ella sacas la fuerza de rozamiento.
Desde la altura que se halla el bloque hasta el piso tienes una diferencia de potencial gravitatorio, que restándole el trabajo de la fuerza de rozamiento sobre el plano, te deja la energía cinetica del bloque respecto del CM,
Con ello sacas la velocidad relativa entre bloque y cuña, puedes calcular el tiempo que tardo en caer por cinemática, y con ese tiempo calcular la velocidad del CM, pues acelero constantemente mientras el bloque caia, sumas las dos velocidades , la del CM y la relativa del bloque al CM , así tienes la velocidad del Bloque, con mas tiempo te lo detallo.

Espero te sirva de guía

[JCB]

Hola a tod@s.

Si la fuerza aplicada a la cuña es $F<2,54\ N$, el bloque descenderá hasta llegar al suelo. Sigo considerando un sistema de referencia solidario a la cuña, y también la fuerza de inercia aplicada al bloque.

$\sum{F_x}=m_ba_x$

$$-F_r+m_bg\sin\theta-m_b\dfrac{F}{m_b+m_c}\cos\theta= m_ba_x$$

$\sum{F_y}=0$

$N-m_bg\cos\theta-m_b\dfrac{F}{m_b+m_c}\sin\theta=0$

$$N=m_bg\cos\theta+m_b\dfrac{F}{m_b+m_c}\sin\theta$$

Teniendo en cuenta que $F_r=\mu_dN$, y sustituyendo (2) en (1),

$a_x=g(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)-\dfrac{F}{m_b+m_c}(\mu_d\sin\theta+\cos\theta)$

Como el bloque parte del reposo,

$v_x=\sqrt{2a_xd}$

Suponiendo un valor de $F=2,5\ N$, y sustituyendo $\mu_d=0,3$, $d=0,5\ m$, obtengo $a_x=0,94\ m/s^2$, $v_x=0,97\ m/s$.

Nota: tanto $a_x$ como $v_x$, son relativas a la cuña.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Mientras el bloque desliza se cumple la segunda ley de Newton, la aceleracion el bloque y de la cuña no son iguales, solo podemos conocer por ahora la aceleración de centro de masas

$$F=(m_b+m_c)a_{CM} /F<2.54N\quad \to\quad a_b<a_{CM}<a_c$$

Sobre el bloque tenemos en horizontal

$$N\sin30- F_r\cos 30=m_ba_{b} \cos 30$$

Sobre la cuña

$$F+ F_r\cos 30-N\sin 30=m_ca_c$$

y en vertical sobre el bloque

$$m_bg-N\cos 30\pm F_r\sin 30=m_ba_{b} \sin 30$$

y en la cuña

$$m_cg+N\cos 30- F_r\sin 30=0$$

la fuerza de fricción es $F_r=\mu_dN$

veamos si no actuase fuerza alguna, se conservaría la posición del centro de masas, y lo que acelera el bloque estaría en relación inversa de masas respecto de lo que aceleraría la cuña en sentido contrario.

$$m_ba_{bCM}-m_ca_{cCM}=0$$

la aceleración respecto a un SR externo será la suma de la aceleración del CM mas la aceleración relativa cada masa respecto del CM

$a_b=a_{CM}+a_{bCM}$

$a_c=a_{CM}+a_{cCM}$

del mismo modo se conserva el momento lineal y la posición relativa del centro de masas

$$m_bv_{bCM}-m_cv_{cCM}=0$$

$$m_bx_{bCM}-m_cx_{cCM}=0$$

Cuando aceleramos el CM , el modulo de la normal cambia, haciendo mas fuerte o débil a la fuerza de fricción, y las posiciones , velocidad, y aceleraciones surgen como suma vectorial de la relativa al CM y la propia del CM.


vayamos a averiguar las aceleraciones relativas

sabemos que si no hubiera fricción con independencia de la aceleración horizontal, el bloque convertiría su energía potencial en cinética, mientras cae, luego la fricción es la unica que puede cambiar el módulo de la velocidad que pudiese alcanzar.

por trigonometría sabemos que parte de una altura $50cm\sin 30=25 cm$
y que la distancia en que produce trabajo resistivo la fricción es 50cm


el balance energético será

$mgh-F_r\Delta x=\dfrac12 mv_{bCM}^2+\dfrac12 mv_{cCM}^2$

usando la relación 5 y el sistema de ecuaciones previo se pueden despejar las velocidades relativas.

sabemos que adquirieron esas velocidades acelerando constantemente desde la velocidad nula sobre un espacio de 50 cm

luego

$a_{bCM}=\dfrac{v_{bCM}^2}{2\cdot 50cm}$

la proyección sobre la direccion x, e y sale por trigonometría , teniendo la aceleración y la velocidad sabemos el tiempo de descenso, con ese tiempo y la aceleracion del CM se puede saber la velocidad el centro de mesas al momento que el bloque toca suelo, sumando se tiene....





Saludos

[adyammichael18]

Duda en el inciso
Qué distancia separa al bloque de la cuña una vez que el bloque llega al suelo?

Se refiere al origen del sistema de referencia el punto del piso que coincide inicialmente con el vértice inferior izquierdo de la cuña. O sea calcular la distancia q se desplazo la cuña una vez aplicada esa fuerza F una vez q el bloque llega al suelo desde ese origen??

[Richard R Richard]

Duda en el inciso
Qué distancia separa al bloque de la cuña una vez que el bloque llega al suelo?

Como no hay dimensiones especificas del bloque ni de la cuña, lo que se refiere ese inciso es específicamente a la distancia que se han separado los centros de masa de ambos cuerpos cuando el bloque haya descendido los 50 cm hasta el vértice inferior.

la distancia en horizontal que se mueve relativamente es $d= 50cm\cos30$

respecto del CM tienes que

$d=d_{bCM}+d_{cCM}$

$0=d_{bCM} m_b-d_{cCM}m_c$

$\therefore d_{bCM}=d\dfrac{m_c}{m_c+m_b}$

$\therefore d_{cCM}=d\dfrac{m_b}{m_c+m_b}$