1r ciclo Duda masa oscilando. Hallar amplitud máxima.

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, tengo el siguiente problema:

Una masa de 0.3 kg se encuentra oscilando unida a un muelle de modo que tiene una velocidad de 9.54 m/s cuando su desplazamiento es 0.03 m y tiene una velocidad de 7.14 m/s si su desplazamiento es 0.06 m. Encontrar:

a) La amplitud máxima de desplazamiento
b) La frecuencia de oscilación
c) La constante del muelle

No sé por dónde empezar. He puesto las ecuaciones del M.A.S:

$x(t)=A cos(\omega t +\phi)$
$v(t)=-A \omega sen(\omega t + \phi)$

Tengo que plantear, creo, dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y de ahí sacar la incógnitas, que serían la amplitud A), la frecuencia de oscilación a partir de la velocidad radial $\omega$, pero no sé qué más, además de que estos sistemas los planteo y no sé cómo resolverlos, no debe ser así.

También, para el apartado c), como no es un movimiento vertical, no sé cómo hacerlo, creo que es planteando un sistema de ecuaciones con la 2ª ley de Newton en ambos casos, ¿puede ser?

Muchas gracias de antemano. Un saludo

[Alriga]

Re: Duda masa oscilando. Hallar amplitud máxima.

En un m.a.s. la energía mecánica se conserva, es decir que en cada posición del móvil se cumple $E_m=E_{pot}+E_{cin}=Cte$

$E_m=\dfrac 1 2 k x^2+\dfrac 1 2 m v^2$

$E_m=\dfrac 1 2 k x_1^2+\dfrac 1 2 m v_1^2=\dfrac 1 2 k x_2^2+\dfrac 1 2 m v_2^2$

$k=m \ \dfrac{v_2^2-v_1^2}{x_1^2-x_2^2}$

$k=0.3 \ \dfrac{7.14^2-9.54^2}{0.03^2-0.06^2}=4448 \ N/m$

Ahora calcula $E_m=\dfrac 1 2 4448 \cdot 0.03^2+\dfrac 1 2 0.3 \cdot 9.54^2=15.653 \ J$ y a partir de ese valor calcula A sabiendo que cuando la velocidad sea cero se cumple que la elongación es máxima:

$E_m=\dfrac1 2 k A^2+\dfrac 1 2 m \ 0^2$

$A=0.0839 \ m$

Para calcular la pulsación

$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}=121.76 \ rad/s$

Y la frecuencia $f=\dfrac{\omega}{2 \pi}= 19.38 \ Hz$

Saludos.

[Al2000]

Re: Duda masa oscilando. Hallar amplitud máxima.

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No sé por dónde empezar. He puesto las ecuaciones del M.A.S:

$x(t)=A cos(\omega t +\phi)$
$v(t)=-A \omega sen(\omega t + \phi)$

Tengo que plantear, creo, dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y de ahí sacar la incógnitas, que serían la amplitud A), la frecuencia de oscilación a partir de la velocidad radial $\omega$, pero no sé qué más, además de que estos sistemas los planteo y no sé cómo resolverlos, no debe ser así.
...

Ya Alriga te mostró cómo hacerlo de forma limpia y rápida, pero sería bueno que intentes otra cosa y lo metas en tu baúl de recursos. Las dos ecuaciones que has puesto son suficientes para hallar la amplitud y la frecuencia del movimiento, pero tienes el tiempo como factor desconocido. En un caso como este, apóyate en la conocida identidad trigonométrica $\mathrm {sen}^2 \, \theta + \cos ^2 \theta = 1$ y úsala para eliminar el tiempo (y las funciones trigonométricas) de tus ecuaciones. Obtendrás lo siguiente:

$$x^2 + \frac {v^2}{\omega ^2} = A^2$$

Ahra dispones de una ecuación que no incluye al tiempo y puedes aplicarla a tus dos condiciones para obtener rápidamente $A$ y $\omega$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[SCHRODINGER27]

Re: Duda masa oscilando. Hallar amplitud máxima.

Gracias Alriga, te quedo muy claro y didáctico, lo entendí fácil, gracias. No se me había ocurrido hacerlo por energías, error mío. Respecto a lo que propone Al2000, está muy bien propuesto y pensado, gracias, obtengo lógicamente el mismo resultado, lo único que para hallar la constante del muelle tendría que recurrir a la energía en la elongación máxima. Aún así, es una forma muy elegante.

Muchas gracias a ambos!

[Alriga]

Re: Duda masa oscilando. Hallar amplitud máxima.

Respecto a lo que propone Al2000, está muy bien propuesto y pensado, gracias, obtengo lógicamente el mismo resultado, lo único que para hallar la constante del muelle tendría que recurrir a la energía en la elongación máxima

No necesariamente. Si usas el método de Al2000, del sistema de dos ecuaciones obtendrás en primer lugar la elongación máxima $A$ y la pulsación $\omega$

Y a partir de ello, ya puedes calcular directamente $k=m \cdot \omega^2$ sin necesidad de calcular previamente la energía.

Sobre las energías en juego de un movimiento armónico simple, hice hace poco un gráfico aquí, que te puede resultar interesante si te apetece echarle un vistazo: http://forum.lawebdefisica.com/threa...024#post165024

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Duda masa oscilando. Hallar amplitud máxima.

Totalmente cierto Alriga, no había caído. Error mío por querer correr demasiado. Gracias!