Otras carreras Impacto (choques) - dinámica

[JuanTara9705]

Buenas tardes a la comunidad, quisiera pedirles un gran favor si alguien me puede explicar o ayudar con este ejercicio. El cual he intentado pero no sé por dónde empezar, gracias a todos!!!

- La esfera lleva una velocidad de $V_{0}$ con un ángulo $\theta$ y rebota con un ángulo $\phi$. Determine el coeficiente de fricción cinético entre el piso y la esfera. El coeficiente de restitución es $e$. Demuestre que durante el impacto $I_{x}= \mu \cdot I_{y}$; el tiempo de impacto para los impulsos es el mismo: $Fx \cdot \Delta t= \mu Fy \cdot \Delta t$

Tome el valor de $\mu =0.25$; $\theta = \phi = 45^{o}$ y $e=0.6$

[delmar7]

Hola

Este problema en general es complicado, depende de los objetos que chocan y si hay rozamiento o no e inclusive la definición de coeficiente de restitución que se toma en cuenta, en este caso una esfera y una pared rígida, hay rozamiento y considerando la definición de Newton de coeficiente de restitución. La esfera y el suelo (masa infinita) constituyen un sistema aislado en consecuencia las cantidades de movimiento del sistema respecto a X e Y se conservan, es decir son las mismas antes y después del choque, llamando $v_1$ la velocidad después del choque se tiene :

Conservación cantidad de movimiento del sistema en la dirección X

$mv_0 cos \theta =m v_1 cos \phi$ Ec 1

En la dirección normal a las superficies de contacto durante el choque se considera el coeficiente de restitución (Newton)

$e=\frac{velocidad \ alejamiento}{velocidad \ acercamiento}=\frac{v_1 sen \phi}{v_0 sen \theta}$ Ec 2

$v_0, \theta, \phi$ son conocidos, de la Ec 2 se obtiene $v_1=\frac{ev_0 sen \theta}{sen \phi}$ Ec 3

Los impulsos $I_y,I_x$ son los impulsos de la fuerza normal y de rozamiento que se ejercen sobre la esfera, por definición se tiene que $I_x=-\int _{0}^{\Delta T}\mu N \ dt$ donde $\Delta T$ es la duración del choque (tiempo de contacto entre esfera y pared) y N es la fuerza normal que ejerce la pared durante el choque, es una función del tiempo, es sencillo deducir, por ser el coeficiente de fricción constante, $I_x=-\int _{0}^{\Delta T}\mu N \ dt=-\mu \int _{0}^{\Delta T} N \ dt=- \mu I_y$ y de ahí se puede despejar $\mu=\frac{-I_x}{Iy}$ Ec 4 estos impulsos se pueden hallar, por su relación con la variación de la cantidad de movimiento :

$I_y=mv_1 sen \phi+mv_0 sen \theta$

$I_x=mv_1 cos \phi-mv_0 cos \theta$

$v_1$ ya ha sido obtenido de la Ec 3, en consecuencia $\mu$ se halla con la Ec 4

Saludos

Nota : El enunciado no esta muy bien redactado primeramente te piden hallar $\mu$ y demostrar la igualdad de los impulsos; pero renglones abajo te dan $\mu$ en realidad con los datos que dan $v_0, \theta, \phi$ es suficiente

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias delmar7 por publicar tus razonamientos. También le he estado dando vueltas a este ejercicio, pero sin llegar a ninguna conclusión presentable.

En el eje $X$, creo que lo expresado por delmar7, es la conservación de la cantidad de movimiento solamente de la esfera, ya que no se puede expresar la conservación de la cantidad de movimiento del sistema, al tener el suelo una masa prácticamente infinita. Si lo que digo es cierto, entonces la cantidad de movimiento de la esfera no se conservaría, porque existe rozamiento.

Por otra parte, si se trata de un impacto con la trayectoria contenida en el plano vertical (según el enunciado, la esfera rebota contra el suelo), ¿ no interviene la fuerza peso ?.

En cualquier caso, me parece un ejercicio muy interesante.

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar7]

Entiendo las dudas JCB vamos a detallar la obtención de $v_1$ a partir de la conservación de cantidad de movimiento y la definición del coeficiente de restitución. El suelo puede considerarse el mismo planeta tierra, entonces hay un choque entre una esfera y la Tierra, los factores de este choque esencialmente son solamente la esfera y la tierra (minimizando la influencia de los astros y otros objetos), en ese sentido las fuerzas gravitacionales y de rozamiento son fuerzas internas al sistema esfera-tierra. no hay fuerzas externas a este sistema que influencien en el choque, es un sistema aislado, se ha de conservar la cantidad de movimiento en las direcciones X e Y, solidarias a la tierra hasta el momento en que se inicia el choque, esta referencia se puede considerar inercial.

Conservación cantidad de movimiento en la dirección X

$mv_0cos \theta=mv_1cos \phi +M v_x$ Ec 1

Donde M es la masa de la tierra y $v_x$ su velocidad en la dirección X después del choque, antes es cero

Conservación cantidad de movimiento en la dirección Y

$-mv_0 sen \theta=mv_1 sen \phi+M v_y$ Ec 2

Donde $v_y$ es la velocidad en la dirección Y después del choque, antes es cero

Coeficiente de restitución

$e=\frac{v_1sen \phi-v_y}{v_0sen \theta} \rightarrow v_1 sen \phi=e v_0 sen \theta+v_y$ Ec 3

Hay 3 ecuaciones y 3 incógnitas $v_x,v_y, v_1$ se puede resolver y las soluciones son :

$v_y=\frac{-m(e+1)v_0 sen \theta}{M+m}$

$v_1=(ev_0sen \theta-\frac{m(e+1)v_0 sen \theta}{m+M}) \ (\frac{1}{sen \phi})$

$v_x=(m/M)v_0cos \theta-(m/M)(ev_0 sen \theta-\frac{m(e+1)v_0 sen \theta}{m+M}) \ (\frac{cos \phi}{sen \phi})$

Al hacer tender M a infinito se tiene :

$v_y=0$

$v_1=\frac{ev_0 sen \theta}{sen \phi}$

$v_x=0$

Este es un desarrollo más riguroso

Un saludo

[Richard R Richard]

Hola----
Conservación cantidad de movimiento del sistema en la dirección X

$mv_0 cos \theta =m v_1 cos \phi$ Ec 1
--------

$I_x=mv_1 cos \phi-mv_0 cos \theta$

Hola, a todos, veo una incompatibilidad allí , o bien tengo una discrepancia teórica , no práctica, segun la Ec1 , resultaría $I_x=0$ siempre...pero si afirmamos que el rozamiento no es nulo el rozamiento debe provocar impulso.

El resto todo de acuerdo.

¿ no interviene la fuerza peso ?.

Hola puedes abordarlo de dos modos ideales, uno sería esque la velocidad inicial es tomada justo antes del impacto y la final justo despúes, por lo que la velocidad no varia con la altura, y a la vez el tiempo de impacto es tan pequelo que la aceleración producida es depreciable.
por otro lñado las fuerzas intervinientes en el impulso son de muchisimo mayor orden de magnitud que la del peso para determina la reaccion normal, por lo que se desprecia, y el problema se aborda del mismo modo sin importar la orientacion el plano de impacto respecto de la tierra.


Concuerdo en que

Mi forma de verlo es que no se conserva la cantidad de movimiento, al mismo estilo que una bola ideal choca elasticamente y perpendicularmente con una pared ideal vuelve con el mismo modulo de velocidad que incidio. La conservación implica que el momento lineal del centro de masa del sistema es el mismo a inicio y fin, y claramente, este ejemplo, con la masa de la pared tendiendo a infinito desvirtua esa presunción.

Entiendo las dudas JCB vamos a detallar la obtención de $v_1$ a partir de la conservación de cantidad de movimiento y la definición del coeficiente de restitución. El suelo puede considerarse el mismo planeta tierra, entonces hay un choque entre una esfera y la Tierra, los factores de este choque esencialmente son solamente la esfera y la tierra (minimizando la influencia de los astros y otros objetos), en ese sentido las fuerzas gravitacionales y de rozamiento son fuerzas internas al sistema esfera-tierra. no hay fuerzas externas a este sistema que influencien en el choque, es un sistema aislado, se ha de conservar la cantidad de movimiento en las direcciones X e Y, solidarias a la tierra hasta el momento en que se inicia el choque, esta referencia se puede considerar inercial.

No puedo estar de acuerdo, te doy mi punto de vista imagina dos planetas de la misma masa uno con velocidad inicial hacia el otro planeta yel otro solidario al sistema de referencia, en el instante previo a la colision, tenemos una energia cinetica del sistema, y luego en la colision elastica ya no habra la misma energía pero si el mismo momento lineal del centro de masas conjunto, las fuerzas desarrolladas en la union son todas internas. comparando esto con el problema, vemos que la friccion y el coeficiente de restitucion nos dan dimension ese grado de perdida de energía, pero reiterando mi argumentación previa, considerar una de las masas infinita es burlar justamente la conservación de la cantidad de movimiento del centro de masas.

por lo que no expresaría que hay conservación del momento si hay impulso de por medio, sino que la variación del momento lineal de la esfera, obedece al impulso recibido y que se calcula perfectamente tal como lo desarrollas visto dede tierra, pero hay que ser consiente que la tierra no sigue siendo solidaria al sistema de referencia, aún siendo su masa infinita, y eso invalida la conservación.

Conservación cantidad de movimiento en la dirección X

$mv_0cos \theta=mv_1cos \phi +M v_x$ Ec 1

Donde M es la masa de la tierra y $v_x$ su velocidad en la dirección X después del choque, antes es cero

Conservación cantidad de movimiento en la dirección Y

$-mv_0 sen \theta=mv_1 sen \phi+M v_y$ Ec 2

Donde $v_y$ es la velocidad en la dirección Y después del choque, antes es cero

Coeficiente de restitución

$e=\frac{v_1sen \phi-v_y}{v_0sen \theta} \rightarrow v_1 sen \phi=e v_0 sen \theta+v_y$ Ec 3

Hay 3 ecuaciones y 3 incógnitas $v_x,v_y, v_1$ se puede resolver y las soluciones son :

$v_y=\frac{-m(e+1)v_0 sen \theta}{M+m}$

$v_1=(ev_0sen \theta-\frac{m(e+1)v_0 sen \theta}{m+M}) \ (\frac{1}{sen \phi})$

$v_x=(m/M)v_0cos \theta-(m/M)(ev_0 sen \theta-\frac{m(e+1)v_0 sen \theta}{m+M}) \ (\frac{cos \phi}{sen \phi})$

Al hacer tender M a infinito se tiene :

$v_y=0$

$v_1=\frac{ev_0 sen \theta}{sen \phi}$

$v_x=0$

Este es un desarrollo más riguroso

Un saludo

Otra idealizacion es suponer que el rozamiento en la direccion x , no provoca rotación en la esfera , aunque si aplica torque, pero esto podemos dejarlo para mas tarde una vez que tengamos un acuerdo.


Ahora voy con mi planteo porque sino parece todo objeción sin propuesta.

reutilizo lo que si me parece correcto la ec2 de lo cual surge

$v_1=\frac{ev_0 sen \theta}{sen \phi}$ Ec 3

$\mu=\frac{-I_x}{Iy}$ Ec 4

$I_y=mv_1 sen \phi+mv_0 sen \theta$

$I_x=mv_1 cos \phi-mv_0 cos \theta$

si dividimos las dos ultimas

$-\mu=\dfrac{mv_1 cos \phi-mv_0 cos \theta}{mv_1 sen \phi+mv_0 sen \theta}$


reemplazando la ecuacion 3

$-\mu=\dfrac{m\left(\frac{ev_0 sen \theta}{sen \phi}\right) cos \phi-mv_0 cos \theta}{m\left(\frac{ev_0 sen \theta}{sen \phi}\right) sen \phi+mv_0 sen \theta}$


simplificando

$-\mu=\dfrac{\left(\frac{e\, sen \theta}{sen \phi}\right) cos \phi- cos \theta}{\left(\frac{e \,sen \theta}{sen \phi}\right) sen \phi+ sen \theta}$

$-\mu=\dfrac{e \cot \phi- \cot \theta}{e+1 }$

si $\theta=\phi=45$ y sabiendo que $\cot 45=1$

$-\mu=\dfrac{e- 1}{e+1 }$

$\mu=\dfrac{1- e}{1+e }$

para un coeficiente de restitución de 0.6

$\mu=0.25$ bingo!!!! coincide con el aportado en el eunciado

CQD?

Saludos