Secundaria Definición velocidad angular.

[MSenrob]

Buenas:

Leyendo sobre una definición de velocidad angular dada en unos apuntes, no entendí uno de los pasos que se dan.

A partir del siguiente esquema:



Se deduce que:

$|{\Delta r}_{2 }|=\Delta\alpha|r|sen(\beta)$

¿Qué argumento se utiliza para deducir esto?

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Definición velocidad angular.

Esta sumado en coordenadas cilindricas, $\vec r = r(r,\theta,z)$


donde cada subindice indica una de las componentes del vector, observando la figura $\vec{\Delta r}_1$ es la componente en dirección $z$

$\vec{\Delta r}_1=(0,0,|\Delta r_1|)$

$\vec{\Delta r}_2$ es la componente en dirección $\theta$

$\vec{\Delta r}_2=(0,|\Delta r_2|,0)$

$\vec{\Delta r}_3$ es la componente en dirección $r$

$\vec{\Delta r}_3=(|\Delta r_3|,0,0)$

así

$\vec{\Delta r}=\vec{\Delta r}_1+\vec{\Delta r}_2+\vec{\Delta r}_3$

(use el modulo de cada componente suponiendo que todas las direcciones escogidas apuntan en el sentido positivo del sistema de referencia, solo para simplificar la idea)

$\alpha\equiv\theta$

$r\sin \beta$ es la proyección del radio sobre el plano , cuando lo multiplicas por $\Delta \alpha$ obtienes un vector de desplazamiento angular sobre el plano , que en este caso es el $\vec{\Delta r}_2$

[MSenrob]

Re: Definición velocidad angular.

Pero lo que no entiendo es cómo multiplicando la proyección de r en el plano por un incremento del ángulo se obtiene un vector en una dirección diferente a la de r. Si el incremento del ángulo es solo un escalar, no entiendo por qué cambia la dirección del vector.

[Richard R Richard]

Re: Definición velocidad angular.

La velocidad angular que es lo que estas queriendo definir, es lo que varia el angulo $\theta$ o $\alpha$ por unidad de tiempo

$$\omega =\dfrac{\partial \theta}{\partial t}$$

fíjate que el plano es perpendicular al eje de rotación, las componentes en dirección paralela al eje de rotación $\vec{\Delta r_1}$ y perpendicular a este en dirección radial $\vec{\Delta r_3}$ no aportan al movimiento de rotación. Solo lo hace $\vec{\Delta r_2}$ que va cambiando de dirección porque siempre es perpendicular al radio, ahora bien el cambio de angulo de la dirección radial es justamente $\Delta \alpha$ en un $\Delta t$
y como limite tienes la derivada parcial. La longitud de la proyección del radio como dije es $r\sin\beta$ por lo que la velocidad tangencial es

$V_t=r\sin\beta \dfrac{\Delta \alpha}{\Delta t}=r\sin\beta \dfrac{\partial \theta}{\partial t}=r\sin \beta \omega$
entonces

$|\vec{\Delta r_2}|=|\vec{V_t}|\Delta t =r\sin\beta \Delta \alpha$

- - - Actualizado - - -

no entiendo por qué cambia la dirección del vector.

recuerda que aquí no estamos haciendo producto escalar de vectores , sino producto vectorial,