Partícula unida a un hilo y a un resorte

[Visitante]

Buenas tardes, quería solicitar ayuda en el siguiente ejercicio:

Por un plano horizontal desliza sin roce una partícula de masa m unida a un hilo. Este pasa por un agujero y termina unido a un resorte de constante elástica k verticalmente debajo del agujero. Cuando el resorte está en su largo natural, la partícula está justo en el agujero. En lo que sigue se pide estudiar la dinámica de la partícula cuando se encuentra a una distancia ρ0 del agujero y se le impulsa con una velocidad perpendicular al hilo, de magnitud v0.

a) Determine la ecuación de movimiento.
b) Encuentre la relación entre ρ0, v0 y k para que la órbita sea circunferencial.



Cualquier ayuda me será de gran utilidad. De ante mano, muchas gracias.

[delmar7]

Hola, se supone el hilo tiene longitud constante y masa despreciable, en esas condiciones el resorte siempre estará en tensión y la tensión en el hilo será la tensión del resorte, suponiendo una referencia XY, con centro en el agujero y solidaria al plano y por sencillez con la condición que en t=0 la posición de la partícula es $\vec{r}(0)=\rho_0 \vec{i}$ y obviamente su velocidad será $\vec{v}(0)=v_0 \vec{j}$, en ese punto :

Sobre el sistema resorte, hilo y partícula, el torque respecto al eje Z , de las fuerzas externas al sistema es nulo, en consecuencia se conserva la cantidad movimiento angular del sistema esto implica para todo t :

$\vec{r}(t) \ x \ m\vec{v}(t)=\vec{r}(0) \ x \ m\vec{v}(0)$

Usando coordenadas polares se tiene :

$\rho \vec{u_{\rho}} \ x \ m(\rho' \ \vec{u_{\rho}}+\rho \ \theta' \ \vec{u_{\theta}})=\rho_0 \vec{u_{\rho}} \ x \ mv_0 \vec{u_{\theta}}$

Se llega:

$\rho^2 \ \theta'=\rho_0 \ v_0$ Ec 1

La segunda ley de Newton en coordenadas polares, con la observación que la $a_{\theta}=0$ por ausencia de fuerzas en esa dirección para todo t y que la fuerza radial $F_{\rho}=-k\rho$ la deformación (estiramiento) será el $\rho$ de la partícula se tiene :

$-k \rho=m(\rho''-\rho \theta'^2)$ Ec 2

$0=2\rho' \theta' - \rho \theta''$ Ec 3

Considera las 3 ecuaciones, puedes derivar la Ec 1 y sacar conclusiones para encontrar la ecuación del movimiento en coordenadas polares y sacar conclusiones, Adelante

Saludos