Satélite

[Flick]

Buenas, quiero consultar acerca de este problema de fuerzas centrales:

Desde la tierra se desea lanzar un satélite en órbita parabólica y para ello se procede como sigue. Primero se coloca en una órbita circunferencial de radio R. En un punto B de esta órbita se dispara sus cohetes tangencialmente y queda en una órbita elíptica cuyo radio mínimo es R. Al alcanzar su radio máximo (punto A), se dispara nuevamente en forma tangencial sus cohetes, alcanzando la rapidez que obtuvo en B y queda en órbita parabólica. Se pide determinar:

a) Determine su rapidez, V, y el ángulo α entre su vector velocidad y su vector posición en el momento en que este último es perpendicular al vector de radio mínimo de la elipse.
b) Si en el instante descrito en a) el satélite duplica en forma instantánea su rapidez, determine el tipo de órbita resultante, su excentricidad y su radio mínimo.
c) Velocidades en A y B en el caso de la órbita elíptica.

[Alriga]

Hola Flick el enunciado me parece muy confuso porque no sé muy bien cual es el dato inicial, voy a suponer que el dato inicial es el radio de la órbira circular "R", por lo tanto todos los cálculos quedarán en función de "R". Te doy algunas pautas que espero puedan ayudarte a resolver el ejercicio. Llamo $v_B$ a la velocidad en el punto B después de disparar los cohetes, es decir $v_B$ es la velocidad en el perigeo de la órbita elíptica. La distancia del satélite a la Tierra en el perigeo es "R" . Podemos relacionarlo con el semieje mayor "a" de la nueva órbita elíptica, (M=masa de la Tierra) usando:

$$\dfrac{v_B^2}2-\dfrac{GM}R=-\dfrac{G M}{2 a}$$

Como $v_B$ es la velocidad en el perigeo de la órbita elíptica, debe cumplir:

$$v_B=\sqrt{\dfrac{G \ M}{a} \cdot \dfrac{1+e}{1-e}}$$

También nos dicen que $v_B$ es la velocidad que se aplica al satélite cuando está en el apogeo A de la órbita elíptica y que eso lo catapulta a órbita parabólica, para órbita parabólica se cumple:

$v_{A_{parabolica}}=\sqrt{\dfrac{2 \ G \ M}{r}}=v_B$

Y en el apogeo de la órbita elíptica esa distancia es $r_A=a \ (1+e)$

Por lo tanto otra ecuación relevante es:

$$v_B=\sqrt{\dfrac{2 \ G \ M}{a (1+e)}}$$

Observa que de la pareja de ecuaciones (2) y (3) puedes obtener directamente la excentricidad de la órbita elíptica:

$e=\sqrt 5 - 2 =0.236068$

Con la excentricidad de la órbita elíptica ya como dato, combinando (1) y (2) obtenemos la velocidad $v_B$ :

$v_B=\sqrt{\dfrac{G M}R \ (1+e)}$

Ahora, sustituyendo esta velocidad en la ecuación (1) y operando se obtiene el semieje mayor de la órbita elíptica:

$a=\dfrac R{1-e}$

También te piden la velocidad en el punto A, apogeo de la órbita elíptica, antes del nuevo impulso que convertirá á orbita elíptica en parabólica, velocidad que se calcula:

$v_{A_{eliptica}}=\sqrt{\dfrac{G \ M}{a} \cdot \dfrac{1-e}{1+e}}$

Estas expresiones y otras que te pueden resultar útiles en este ejercicio las puedes ver demostradas en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Mira a ver si sabes seguir con estas indicaciones, saludos.

[Richard R Richard]

Buenas, quiero consultar acerca de este problema de fuerzas centrales:

[B]Desde la tierra se desea lanzar un satélite en órbita parabólica y para ello se procede como sigue. Primero se coloca en una órbita circunferencial de radio R. En un punto B de esta órbita se dispara sus cohetes tangencialmente y queda en una órbita elíptica cuyo radio mínimo es R. Al alcanzar su radio máximo (punto A), se dispara nuevamente en forma tangencial sus cohetes, alcanzando la rapidez que obtuvo en B y queda en órbita parabólica. Se pide determinar:

a) Determine su rapidez, V, y el ángulo α entre su vector velocidad y su vector posición en el momento en que este último es perpendicular al vector de radio mínimo de la elipse.

A ver si me sale

Dado que la energía mecánica de una órbita elíptica viene dada por

$E=-\dfrac{ G M m}{2 a}$

tenemos por resultado que para cualquier orbita elíptica, la velocidad en un punto cualquiera de su órbita separada por un radio $r$ de su foco principal

$v=\sqrt{2GM\left({1\over{r}}-{1\over{2a}}\right)}$

Para este problema tenemos dos incógnitas aún , cuánto vale $a$ (el semieje mayor) , determinar la longitud $r$ de acuerdo a las pautas del problema y cuánto vale $E$

Por conservación de la energía sabemos que $E$ será exactamente cuándo se enciendan los motores por primera vez en el punto B cuyo radio es $R$ y su velocidad en órbita circular es $V_C$

relacionadas así $V_C=\sqrt{\dfrac{GM}{R_C}}\quad\to\quad R_B=R_C=\dfrac{GM}{V_C^2}$

Así llegamos a la fórmula propuesta por Alriga sabiendo que la velocidad radial \dot R es nula y que por definición de momento angular $L=mR_A V_A=mR_BV_B$

$E=-\dfrac{ G M m}{2 a}=\dfrac12 m\dot R^2+\dfrac{L^2}{2mR_B^2}-\dfrac{GMm}{R_B}=\dfrac12 m V_B^2-\dfrac{GMm}{R_B}$

y de esta igualdad

$-\dfrac{ G M }{2 a}=\dfrac{V_B^2}{2}-\dfrac{ G M }{R_B}=\dfrac{V_B^2}{2}-\dfrac{ V_C^2}{2}$

de donde despejamos el semieje mayor $a=\dfrac{GM}{V_B^2-V_C^2}$

Sabemos que la elipse de la órbita estará definida por

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ donde $b$ es el semieje menor que aún no conocemos pero que podemos sacar

sabiendo que la suma de las distancias radiales de apoastro y periastro es dos veces la el semieje mayor

$R_p+R_a= 2a=R +(a-c)=2a \quad\to\quad c=a-R$

donde por definición de la elipse $c=\sqrt{a^2-b^2}\quad\to\quad b^2=a^2-(a-R)^2=2aR-R^2$

una vez alcanzado el apoastro a una distancia $R_A$ que sale de la misma ecuación de energía

$E=-\dfrac{ G M m}{2 a}=\dfrac12 m V_A^2-\dfrac{GMm}{R_A}$ y usando la conservación del momento angular $V_A=\dfrac{L}{mR_A}=\dfrac{R_BV_B}{R_A}$

$E=-\dfrac{ G M m}{2 a}=\dfrac12 m \left(\dfrac{R_BV_B}{R_A}\right)^2-\dfrac{GMm}{R_A}$

que define una ecuación cuadrática de la cual sale $R_A$ y luego se puede calcular $V_A$

ahora sabemos que si en la posición $R_A$ impulsamos la nave con velocidad $V_B$ la trayectoria será parabólica así $V_B$ debe cumplir

$V_B=\sqrt{\dfrac{2GM}{R_A}}$

cuya ecuación quedaría expresada

$-y^2=4R_B(x-a)$ para $x=c$ tendremos la posición $y$ la velocidad en esa posición sale por energía

$E_2=\dfrac12 mV_B^2-\dfrac{GMm}{R_A}=\dfrac12 mV^2-\dfrac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2}}$ de donde se despeja $V$

la dirección angular sale de la derivada de la función trayectoria


$y=\sqrt{4R_B(a-x)}$

$y'=\tan \alpha=\dfrac{-2R_B}{\sqrt{4R_B(a-x)}}$

en el momento en que este último es perpendicular al vector de radio mínimo de la elipse

en un sistema de referencia con origen en el centro de la elipse implica que $x=c$ solo hay que reemplazar valores.

b) Si en el instante descrito en a) el satélite duplica en forma instantánea su rapidez, determine el tipo de órbita resultante, su excentricidad y su radio mínimo.

Bueno ahora es repetir el cálculo pero en vez que la velocidad en $V_A=V_B$ tenemos que hacer $V_A'=2\dfrac{V_BR_B}{R_A}$ que sería el doble de la velocidad con la que llega al punto A, es claro que si $\dfrac{R_B}{R_A}=\dfrac12$ esto definía una trayectoria parabólica , si el ratio es menor a un medio la trayectoria será elíptica ya que $V_A'<V_A$, y ratios mayores darán una trayectoria hiperbólica pues $V_A'>V_A$.

c) Velocidades en A y B en el caso de la órbita elíptica.

si se duplica la velocidad en A es ilógico pensar que la trayectoria vuelva a pasar por el punto B(es raro que se pida esto, seguro no lo interpreto bien) así que no tendremos esa velocidad

Entonces si $V_A'<V_A$ tenemos la órbita elíptica, cuya velocidad en A es $V_A'=2\dfrac{V_BR_B}{R_A}$ que entiendo sería el nuevo periastro de una nueva órbita elíptica.