Problema partícula oscilando en cuenco semiesférico

[China]

Buenas tardes, sobre el siguiente problema a ver si me podéis ayudar.

"Una pelota pequeña de masa m se mueve en una circunferencia horizontal, a una altura h, en la superficie interior de un cuenco semiesférico, de radio R, sin rozamiento: a. Calcule el periodo de revolución de la pelota en función de los datos aportados. b. Se desplaza ahora la pelota una pequeña distancia x desde el fondo del cuenco y se suelta desde el reposo. Calcule la frecuencia de las oscilaciones que se producen"

a. En este apartado descompongo la normal que hace el cuenco sobre la pelota, la componente vertical es igual al peso y la horizontal es la fuerza centrípeta y obtengo que $\omega=\sqrt{\frac{r}{g cot\alpha}}$ y si po y poniéndolo en función de R y h finalmente queda que $T=2\pi\sqrt{\frac{R-h}{g}}$.
b. En este caso lo hago de dos manera, primero, creo que así está mal lo que hago es tratarlo como un péndulo simple: el peso normal se igual a la normal de la superficie y el peso tangencial me genera un aceleración $a=-g sen\alpha$, signo negativo porque regresa al punto de equilibrio si aproximaos para ángulos pequeños que $sen\alpha=\alpha$ y que $x=\alpha R$ obtenemos una $F=-\frac{mgx}{R}$, vemos que es una fuerza proporcional al desplazamiento característica de un MAS y por tanto comparando la aceleración, con la de un MAS tenemos que $\omega=\sqrt{\frac{g}{R}}$..
Y luego sin hacer aproximaciones:
la ecuación de la aceleración anterior la expreso: $g sen\alpha=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}$ considerando relaciones entre magnitudes angulares y lineales llego a: $gsen\alpha d\alpha=R\omega d\omega$ y aquí integro, los limites de la velocidad es de o a $\omega$, pero los del ángulo cuáles serian? por que el problema dice que se deja caer la bola desde una separación dada que formaría un determinado ángulo con la vertical y no se como poner los limites...

Si considero que la bola se deja caer, por ejemplo desde la horizontal izda, integro el angulo entre $-\pi/2$ y$\alpha$, pero en este caso la integral que queda en coseno, me queda negativo y me quedaría algo así: $\omega=\sqrt{\frac{g(-cos\alpha)}{R}}$ y ese menos dentro de la raíz pues no claro.. y aqui es donde tengo lio.
Gracias

[delmar7]

Hola

Entiendo que el cuenco semiesférico es la parte inferior de un casquete esférico y que ha de estar apoyado en el suelo por su polo, en esas condiciones considerando una referencia cartesiana XYZ, donde XY es paralelo al suelo y pasa por el centro de la esfera (la circunferencia máxima esta incluida por este plano coordenado) y la parte positiva del eje Z, hacia arriba y para sencillez considerando coordenadas cilíndricas de tal manera que en t=0 , la posición de la pelota es $R_c \vec{i}-h \vec{k}$ donde $R_c$ es el radio de la circunferencia por donde se mueve la pelota.$R_c=\sqrt{R^2-(R-h)^2}$, y evidentemente $\vec{u_r}=\vec{i}$ con todas esas consideraciones la relación entre el vector posición de la pelota $\vec {r_p}$ y el tiempo será :

$\vec{r_p}(t)=R_c \vec{u_r}-h\vec{k}$ donde obviamente $\vec{u_r}=cos \theta \vec{i}+sen \theta \vec{j}$ evidentemente $\theta$ es función del tiempo.

Considerando también que el vector posición de la pelota forma un ángulo constante $\phi$ con el semieje negativo Z determinado por $sen \phi=\frac{R_c}{R} \ \ cos \phi=\frac{R-h}{R}$

Se aplica la segunda ley de Newton en las direcciones cilíndricas :


Dirección vertical Z

$N cos \phi-mg=0 \Rightarrow N=\frac{mg}{cos \phi}$ esto indica que N módulo de la reacción normal del cuenco es el mismo en todo punto de la trayectoria

Dirección radial

$-N sen \phi=-mR_c \theta'^2$ esto indica que $\theta'=\sqrt{\frac{g}{R-h}}$ es constante y si el periódo $T=\sqrt{\frac{R-h}{g}}$ coincide con el valor obtenido

Dirección transversal no hay fuerzas

Analizaré el apartado b) posteriormente

Saludos

[Richard R Richard]

B) Cómo la oscilación es pequeña, se desprecia el Radio de la pelota y se desprecia el rozamiento, simplemente $T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$ correspondiente a un MAS.
Saludos

[China]

Hola buenas, repasando problemas me vuelvo a encontrar con este, y en concreto en el apartado b, que ya me había quedado claro que el tratamiento podía ser como el péndulo simple, me encuentro el problema resuelto aquei,

y me surgen dudas otra vez , primero no entiendo por qué no se trata como el péndulo simple y por qué el periodo depende del ángulo, y una ya relativo a ese procedimiento de resolución, en el del video veo claros los limites, sin embargo en el planteamiento del mismo problema origen de este hilo (apartado b) los limites de integración del ángulo no los veo claros. Agradezco nuevas aportaciones. saludos

[Richard R Richard]

primero no entiendo por qué no se trata como el péndulo simple y por qué el periodo depende del ángulo

El péndulo es simple cuando el ángulo es pequeño y la función seno del ángulo theta en radianes se puede aproximar sin temor de cometer demasiado error propio valor de la ángulo theta

si $\theta\to0\quad \to\quad \sin\theta \approx \theta$

la dependencia del periodo del ángulo viene del hecho que en todo momento el ángulo es lo que determina la aceleración de la bola, y esto se relaciona con el periodo de una oscilación. hay varias paginas donde esta la deducción.

A ángulos mayores el periodo depende de la amplitud( la fórmula se hace muy rebuscada, puedes googlearla), pero en ángulos pequeños, (péndulo simple) el periodo no depende de la amplitud, si no del radio de la semicircunferencia o de la longitud de una cuerda y del valor de la aceleración de la gravedad. $T=2\pi\sqrt{\dfrac{g}{r}}$


Saludos