Rodadura en plano inclinado

[China]

Un cilindro de 2 kg de masa y de 30 cm de radio tiene una ranura cuyo radio es 10 cm. En la ranura se enrolla una cuerda tal como se indica en la figura, y el otro extremo se fija a una pared.

El cilindro rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º respecto de la horizontal. El cilindro parte del reposo, de un punto P situado a 3 m de la base del plano inclinado tal como se indica en la figura. Sabiendo que después de recorrer estos 3 m la v_cmes de 4 m/s, calcular:

• La aceleración del centro de masas y la tensión de la cuerda.

Sobre este problema lo hago y me surge una duda... como me dan la velocidad de llegada al final del plano una vez de recorrer 3 m partiendo del origen, por cinemática obtengo la aceleración 2,67 m/s2 y de este modo puedo resolver el sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas que se obtiene de la aplicación de las leyes de newton al cilindro y estaría resuelto.. ahora bien me pongo a hacerlo por energías, en este caso la fuerza de rozamiento de rotación no hace trabajo por lo que la energía mecánica se conserva, sin embargo para que se conserve la energía que tiene el cilindro antes de moverse 3 m que es E=29,4 J, la velocidad de llegada al final de esos 3 m recorridos debe ser mayor de unos4,43 m/s... hay algo que no estoy considerando?? gracias

[JCB]

Hola a tod@s.

Efectivamente, China, has omitido los trabajos de la tensión de la cuerda, que son dos:

en la traslación, $W_T(t)=-Td=-8,1\ J$ (negativo porque se opone al movimiento),

en la rotación, $W_T(r)=M\phi=Tr\dfrac{d}{R}=2,7\ J$ (positivo porque contribuye al movimiento).

Planteando $\sum{W}=\Delta E_c$

$mgh-Td+Tr\dfrac{d}{R}=\dfrac{3}{4}mv^2$

$29,4-8,1+2,7=24$ (se cumple la igualdad).

Saludos cordiales,
JCB.

[China]

Hola JCB, me vuelve a surgir duda respecto a esto, la ecuación que pones es el teorema de fuerzas vivas, pero luego incluyes la energía potencial, eso no lo entiendo, y luego en otros muchos problemas que veo de cilindros en planos inclinados unidos por cuerdas a poleas u otros cuerpos, no se considera el trabajo de la tensión, se considera dicha fuerza como conservativa y que se conserva la energía, ahora no se cuando hacerlo de un modo u otro.

[China]

Hola JBC, pero tu aplicas $W=\Delta Ec$ peor luego en el balance consideras la energía potencial por lo que deberíamos aplicar [TEX]W_nc=\Delta E[/TEX no?? y claro yo estaba considerando que la tensión era conservativa... hasta ahí veo mi error, pero no se supone que la Fr de rodadura no hace trabajo alguno??

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Antes de responderte, China, indico el desarrollo para determinar la aceleración del cdm y la tensión de la cuerda (resultados a los cuales tú ya llegaste previamente).

Como el cilindro parte del reposo, $v=\sqrt{2ad}$, $a=\dfrac{v^2}{2d}=\dfrac{8}{3}\ m/s^2$.

Aplico $\sum{F}=ma$, en un eje paralelo al plano inclinado.

$-F_r-T+mg\sin\theta=ma$

$$F_r=mg\sin\theta-T-ma$$

Dinámica de rotación respecto del eje del cilindro.

$\sum{M}=I\alpha$

$F_rR+Tr=\dfrac{1}{2}mR^2\dfrac{a}{R}$

$$F_rR+Tr=\dfrac{1}{2}mRa$$

Sustituyendo (1) en (2),

$T=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}a-g\sin\theta\right)mR}{r-R}=2,7\ N$. Y también $F_r=1,77\ N$.

2) El teorema de las fuerzas vivas establece que el trabajo de todas las fuerzas (conservativas y no conservativas) sobre un punto material (también válido para un sólido rígido), es igual al incremento de su energía cinética.

En este ejercicio identificamos tres fuerzas: el peso (conservativa), la tensión de la cuerda (no conservativa) y la fuerza de rozamiento (no conservativa). Una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica de un punto material, o la de un sólido rígido. Ahora bien, en el caso de rodadura sin deslizamiento, la fuerza de rozamiento no realiza trabajo:

en la traslación, $W_r(r)=-F_rd=-5,3\ J$ (negativo porque se opone al movimiento),

en la rotación, $W_r(t)=M\phi=F_rR\dfrac{d}{R}=F_rd=5,3\ J$ (positivo porque contribuye al movimiento). La suma de estos dos trabajos es 0.

Saludos cordiales,
JCB.

[China]

Ahhh vale, es que creí que uno de los trabajos que planteabas en el primer mensaje en el balance energético era trabajo de la fuerza de rozamiento y eso es lo que me confundía, pero me he dado cuenta que es trabajo de rotación y de traslación realizado por la tensión no? muchas gracias

[JCB]

Así es, China.

[JCB]

Hola JCB, me vuelve a surgir duda respecto a esto, la ecuación que pones es el teorema de fuerzas vivas, pero luego incluyes la energía potencial, eso no lo entiendo, y luego en otros muchos problemas que veo de cilindros en planos inclinados unidos por cuerdas a poleas u otros cuerpos, no se considera el trabajo de la tensión, se considera dicha fuerza como conservativa y que se conserva la energía, ahora no se cuando hacerlo de un modo u otro.

Hola a tod@s.

El teorema de las fuerzas vivas, indica que el trabajo de todas las fuerzas (tanto conservativas como no conservativas) que se ejercen sobre un punto material (o sobre un sólido rígido), es igual al incremento de su energía cinética.

$\sum{W}=\Delta E_c$

$\sum{W_{conservativas}}+\sum{W_{no\ conservativas}}=\Delta E_c$

Por otra parte, el trabajo de todas las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica.

$\sum{W_{no\ conservativas}}=\Delta E_m$

Si puedes poner un ejemplo concreto en el que tengas dudas, mejor. Quizás sería conveniente que abrieras un hilo aparte.

Saludos cordiales,
JCB.

[China]

Hola, siento volver sobre esto, me quedaron claras muchas cosas, pero me sigo encontrando con la duda de cuando se consideran los trabajos de la tensión y cuando no, a ver yo creí que si la cuerda esta sujeta a una pared se considera e trabajo de la tensión en los balances de energía y que si la cuerda esta solamente a través de las poleas no se consideraba, pongo enlace para ver a que me refiero en cada caso:
El primer sistema de la pagina 9 entiendo que no se consideraría trabajos de las tensiones, pues la cuerda no está enganchada a una pared como el sistema que inició este hilo, esto seria correcto???

Y en caso de que lo fuera, en el primero de la página 23, que uno de los extremos de la cuerda esta atada a un punto fijo, habría que considerar en la conservación de energía trabajo de la tensión??

https://personales.unican.es/junquer...a-1/poleas.pdf

[JCB]

@China: abre hilo aparte, para no enmarañar a este hilo. Gracias.

[Richard R Richard]

Estoy un tanto perdido sin la imagen, como puede desenrollar la misma longitud de soga al descender, si la ranura no tiene el diámetro del cilindro y en este no desliza...algo no cuadra, la velocidad angular es la misma pero no la tangencial,a menos que ambos diámetros sean iguales no hay forma
si la ranura es de diámetro menor la soga se estiraria si es mayor no se tensaria

[JCB]

Estoy un tanto perdido sin la imagen, como puede desenrollar la misma longitud de soga al descender, si la ranura no tiene el diámetro del cilindro y en este no desliza...algo no cuadra, la velocidad angular es la misma pero no la tangencial,a menos que ambos diámetros sean iguales no hay forma
si la ranura es de diámetro menor la soga se estiraria si es mayor no se tensaria

Hola a tod@s.

Aunque con el cilindro un poco abollado , en su día (19-10-22) hice esta interpretación de la situación descrita por China.

Espero que te sirva, Richard R Richard.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

Aunque con el cilindro un poco abollado , en su día (19-10-22) hice esta interpretación de la situación descrita por China.

Espero que te sirva, Richard R Richard.

Saludos cordiales,
JCB.

Claro, que sirve JCB , gracias.

Observa que la velocidad de descenso del centro de masas del cilindro cuando es solidario a la soga es $\omega r$, pero para que haya rodadura , es decir, que descienda apoyado en el plano sin deslizar sobre la superficie debe moverse su centro de masas con velocidad $\omega R$, y como su centro de masas no puede viajar a dos velocidades diferentes la única posibilidad es que $R=r$ por eso me extraña que diga literalmente "El cilindro rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º respecto de la horizontal" pues ya tienes un vínculo con la soga, para que poner un segundo vínculo incompatible.
Si se permite el deslizamiento no habría tal objeción.

[JCB]

Hola a tod@s.

Para mí, la situación del ejercicio que interpreté me parece coherente, siempre que se cumpla la condición de rodadura sin deslizamiento:

$F_r<\mu_emg\cos\theta$

$\mu_e>\dfrac{F_r}{mg\cos\theta}$

$\mu_e>0,1041$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola, calculamos la velocidad lineal de desenrollo dela cuerda manteniendo la tensión .
$v_s= \omega r$

Ahora calculamos la velocidad lineal del cilindro en rodadura

$v_c=\omega R$

para que el ejercicio tenga sentido la velocidad del centro demasa para el descenso y la rodadura deben ser iguales,no puede el CM viajar a dos velocidades diferentes a la vez, eso hace concluir que necesariamente $r=R$ no hay ranura.

[JCB]

Hola a tod@s.

Considero un sistema de coordenadas con el eje $X$ paralelo al plano inclinado, sentido positivo hacia arriba, el eje $Y$ con sentido positivo hacia arriba, y el eje $Z$ con sentido positivo saliendo de la pantalla.

La velocidad del punto $A$ donde se desenrolla la cuerda, se puede determinar respecto del cdm (centro de masa)

$\vec{v_A}=\vec{v}_{cdm}+\vec{\omega}\times\vec{r}(A/cdm)=-\omega R\hat\imath+\omega\hat k\times(-r\hat\jmath)=-\omega R\hat\imath-\omega r(\hat k\times\hat\jmath)=-\omega(R-r)\hat\imath$

o bien respecto del centro instantáneo de rotación $(CIR)$

$\vec{v_A}=\vec{v}_{CIR}+\vec{\omega}\times\vec{r}(A/CIR)=\vec{0}+\omega\hat k\times(R-r)\hat\jmath=\omega(R-r)(\hat k\times\hat\jmath)=-\omega(R-r)\hat\imath<br />$

Saludos cordiales,
JCB.