1r ciclo Dinámica de rotación

[Alvarez039]

Hola buen día, he estado tratando de resolver este ejercicio. ¿Me podría alguien brindar apoyo para poder resolverlo?

Un yoyo está hecho de 2 discos cilíndricos sólidos, cada uno de 0.050kg de masa y 0.075 m de diámetro, unidos por un delgado eje cilíndrico sólido (concéntrico) 0.0050 kg de masa y 0.010 m de diámetro.

a) Use la conservación de la energía para calcular la rapidez lineal del yoyo cuando alcanza el final de su cuerda de 1.0 m de largo, si se libera desde el reposo.

b) ¿Qué fracción de su energía cinética es de rotación?

R. (a) 0.84 m/s (b) 0.96

[JCB]

Hola a tod@s.

a) Utilizo el subíndice $e$ para los dos cilindros exteriores, y el subíndice $i$ para el cilindro interior.

Tomando como referencia de la energía potencial gravitatoria al punto más bajo del yoyó, la energía mecánica inicial es la potencial gravitatoria

$E_{mi}=(2m_e+m_i)gh=1,03\ J$.

La energía mecánica final es la cinética (rotación y traslación).

$E_{mf}=\dfrac{1}{2}I\omega^2+\dfrac{1}{2}(2m_e+m_i)v_c^2=\dfrac{1}{2}I\dfrac{v_c^2}{R_i^2}+\dfrac{1}{2}(2m_e+m_i)v_c^2$. Igualando las energías y despejando,

$v_c=\sqrt{\dfrac{(2m_e+m_i)gh}{\dfrac{I}{2R_i^2}+m_e+\dfrac{m_i}{2}}}=0,84\ m/s$.

Nota: $I=2\dfrac{1}{2}m_eR_e^2+\dfrac{1}{2}m_iR_i^2=7,04\cdot10^{-5}\ kgm^2$.

b) Finalmente, la energía cinética de rotación representa un $\dfrac{\dfrac{1}{2}I\dfrac{v_c^2}{R_i^2}}{(2m_e+m_i)gh}\cdot100=96,40\ \%$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Alternativamente al método energético, se puede determinar la velocidad del cdm del yoyó, mediante las expresiones de la Dinámica.

1) $\sum{F}=ma$

$-T+(2m_e+m_i)g=(2m_e+m_i)a$

$$T=(2m_e+m_i)g-(2m_e+m_i)a$$

2) $\sum{M}=I\alpha$

$TR_i=I\dfrac{a}{R_i}$

$$T=\dfrac{Ia}{R_i^2}$$

Igualando (1) con (2),

$a=\dfrac{(2m_e+m_i)g}{\dfrac{I}{R_i^2}+2m_e+m_i}$

$v_c=\sqrt{2ah}=\sqrt{\dfrac{(2m_e+m_i)gh}{\dfrac{I}{2R_i^2}+m_e+\dfrac{m_i}{2}}}=0,84\ m/s$.

Saludos cordiales,
JCB.