Altura máxima de un proyectil disparado desde la superficie terrestre

[luisdlr]

Buenas tardes,

Quisiera pedir ayuda con un problema de gravitación que no estoy sabiendo resolver. El enunciado es el siguiente:

Un proyectil de largo alcance se dispara desde un punto de la superficie terrestre con una velocidad V cuyas componentes polares son (Vr, Vθ) (ver figura). Si se desprecia el efecto fricativo de la atmósfera y el de rotación de la Tierra, determínese la altura máxima, H, del proyectil en su trayectoria, para el caso en el que H/R <<< 1 (R, radio terrestre).



Había pensado en aplicar la conservación del momento angular y la energía mecánica, suponiendo que por ejemplo en el punto más alto de la trayectoria sólo hay componente Vθ de la velocidad. Pero no consigo ver la manera de plantear ambas ecuaciones... En problemas que no son numéricos sino que hay que trabajar con letras me suelo bloquear de inicio

Muchas gracias de antemano, ¡un saludo!

[Alriga]

...para el caso en el que H/R <<< 1 (R, radio terrestre)...

a) Con eso entiendo que lo que quieren es que consideres la aceleración de la gravedad constante. Igualando energías en el momento del disparo y a la altura máxima, teniendo en cuenta que la componente $V_{\theta}$ de la velocidad es siempre la misma, puesto que no hay aceleración en la dirección de $V_{\theta}$ :

$\dfrac 1 2 m (V_{r_i}^2+V_{\theta}^2)+m g R=\dfrac 1 2 m (0^2+V_{\theta}^2)+m g (H+R)$

$$H=\dfrac{V_{r_i}^2}{2 g}$$

b) Como información adicional, si el proyectil alcanzase una gran altura y ya no pudiésemos considerar constante la aceleración de la gravedad en toda la trayectoria, usaríamos para el cálculo la energía específica del campo gravitatorio, que puedes consultar en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

$\varepsilon =\dfrac{v^2}2-\dfrac{GM}r$

En donde "M" es la masa de la Tierra. Igualando energías específicas en el momento del disparo y a la altura máxima, teniendo en cuenta que la componente $V_{\theta}$ de la velocidad es siempre la misma, puesto que no hay aceleración en la dirección de $V_{\theta}$:

$\dfrac{(V_{r_i}^2+V_{\theta}^2)}2-\dfrac{GM}R= \dfrac{(0^2+V_{\theta}^2)}2-\dfrac{GM}{R+H}$

$$H=\dfrac{G M}{\dfrac{G M}R-\dfrac{V_{r_i}^2}2}-R$$

Comprueba que hasta aproximadamente unos ~1000 m/s de velocidad radial inicial, ambas expresiones de la altura "H" dan prácticamente el mismo resultado, pero para valores mayores de 1000 m/s de velocidad inicial, empiezan a diferir notablemente.

Cuando la velocidad inicial sea la de escape:

$V_{r_i}=\sqrt{\dfrac{2 G M}R}$

El denominador será cero y la "altura máxima" será infinita, es decir que el proyectil escapará del campo gravitacional de la Tierra.

Saludos.

[Richard R Richard]

teniendo en cuenta que la componente $V_{\theta}$ de la velocidad es siempre la misma, puesto que no hay aceleración en la dirección de $V_{\theta}$:

.

Estas seguro que allí no debes aplicar la conservación del momento angular, $V_\theta$ no es constante con la altura, en vez usar la velocidad extraida de la energía cinetica en direccion perpendicular a la radial?

[Richard R Richard]

Es contradictorio incluir grafico donde $H\cong R$ y luego decir $H/R <<< 1$ , para el primer caso, aplicaría orbitas elipticas consercación de la energía y la conservación del momento angular , para el segundo lo que hizo Alriga.

[Alriga]

...para el caso en el que H/R <<< 1 (R, radio terrestre)...

Gracias a esa condición también puedes usar cinemática sencilla del movimiento uniformemente acelerado en vez de conservación de la energía. En el dibujo adjunto:

Con la nomenclatura de nuestro ejercicio:

$V_{0_y}=V_{r_i}$

$V_{0_x}=V_{\theta_i}$

La componente vertical de la velocidad:

$$V_y=V_{r_i} - g t$$

La componente vertical de la posición:

$$y=V_{r_i} t - \dfrac 1 2 g t^2$$

La altura máxima H se alcanza cuando:

$V_y=V_{r_i} - g t=0$

Despejando:

$t=\dfrac{V_{r_i}}g$

Sustituyendo en (2)

$H=\dfrac{V_{r_i}^2}g - \dfrac 1 2 g \dfrac{V_{r_i}^2}{g^2}$

$H=\dfrac{V_{r_i}^2}{2 g}$

Puede interesarte repasar: Movimiento parabólico: demostraciones del tiempo de movimiento, del alcance y de la altura máxima

Saludos.

[luisdlr]

Muchísimas gracias por la explicación tan detallada, lo he entendido todo perfectamente. La resolución por cinemática me resulta más sencilla porque lo he practicado más en el pasado, por lo que trataré de practicar más las resoluciones por energías.

Muchas gracias de nuevo. ¡Un saludo!

[JCB]

Hola a tod@s.

En ambos casos (tanto si la aceleración de la gravedad es constante, como si no), también se podría aplicar el teorema de las fuerzas vivas: el trabajo realizado por todas las fuerzas sobre un punto material, es igual a la variación de su energía cinética. Se supone que solo interviene la fuerza de la gravedad.

a) Si $g$ es constante.

$\Sigma W=\Delta E_c$

$mgh\cos 180^{\circ}=\dfrac{1}{2}mv_{\theta}^2-\dfrac{1}{2}m(v_{ri}^2+v_{\theta}^2)$

$h=\dfrac{v_{ri}^2}{2g}$

Nota: alternativamente, bastaría con aplicar $\cancelto{0}{v_{rf}^2}=v_{ri}^2-2gh$

$h=\dfrac{v_{ri}^2}{2g}$

b) Si $g$ no es constante.

El trabajo de la fuerza gravitatoria es $\displaystyle\int_{R}^{r}\vec{F}\vec{dr}=-\displaystyle\int_{R}^{r}Fdr=-\displaystyle\int_{R}^{r}\dfrac{GMm}{r^2}dr$

$\Sigma W=\Delta E_c$

$-\displaystyle\int_{R}^{r}\dfrac{GMm}{r^2}dr=\dfrac{1}{2}mv_{\theta}^2-\dfrac{1}{2}m(v_{ri}^2+v_{\theta}^2)$

$r=\dfrac{GM}{\dfrac{GM}{R}-\dfrac{1}{2}v_{ri}^2}$

Siendo $r=R+h$,

$h=r-R=\dfrac{GM}{\dfrac{GM}{R}-\dfrac{1}{2}v_{ri}^2}-R$

Saludos cordiales,
JCB.

[luisdlr]

Buenas tardes,

Muchísimas gracias por la explicación, no se me había ocurrido hacerlo por energías y creo que de esta manera lo entiendo mejor.

Gracias de nuevo. ¡Un saludo!