Oscilaciones de un sistema con polea, muelle y peso

[luisdlr]

Buenas tardes,

Quería pedir ayuda para resolver el siguiente ejercicio de Física, el cual encuentro muy complicado.

El enunciado es el siguiente:

Estúdiense las oscilaciones del sistema de la figura, a la luz de:
a) Teorema de conservación de la energía.
b) Teorema del momento cinético. Supóngase que la polea es un disco homogéne ode masa M y radio R, que la cuerda es ligera (masa despreciable) y no resbala por la garganta de la polea, y que el muelle exhibe un comportamiento ideal, con constante recuperadora k.




En el a), entiendo que tengo que aplicar conservación de la energía, y creo que tengo energía cinética de la masa, de la polea en su giro alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro, y luego la energía potencial del muelle. Dicha energía potencial debe permanecer constante.

Y creo que lo que debería obtener es un movimiento armónico simple, y a partir de ahí podría sacar la frecuencia angular... Pero es que no sé cómo llegar a dicha ecuación del movimiento, me bloqueo nada más poner las ecuaciones

A lo mejor es un ejercicio demasiado largo para preguntar, pero a ver si poco a poco lo consigo ir sacando...

Muchísimas gracias de antemano por vuestra ayuda.

Un saludo

[JCB]

Hola a tod@s.

Estando inicialmente el sistema en reposo, $T_{1i}=T_{2i}=T$, ya que no se produce rotación de la polea. Para el bloque de masa $m$,

$\sum{F_y}=0$

$T-mg=0$

$T=mg$

Para el muelle,

$T-k\Delta l=0$

$T=k\Delta l$

Igualando las tensiones,

$$\Delta l=\dfrac{mg}{k}$$

Ahora desplazamos la masa $m$ desde su posición de equilibrio, una distancia $y$.

Bloque de masa $m$.

$\sum{F_y}=m\ddot{y}$

$T_2-mg=m\ddot{y}$

$$T_2=m\ddot{y}+mg$$

Muelle.

$T_1=k(\Delta l+y)$. Sustituyendo (1),

$$T_1=k\left(\dfrac{mg}{k}+y\right)$$

Polea.

$\sum{M}=I\alpha$

$$-T_1R+T_2R=\dfrac{1}{2}MR^2\dfrac{\ddot{y}}{R}$$

Sustituyendo (2) y (3) en (4), y simplificando,

$\ddot{y}=-\dfrac{k}{\dfrac{M}{2}-m}y$

De aquí, $\omega^2=\dfrac{k}{\dfrac{M}{2}-m}$, $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{\dfrac{M}{2}-m}{k}}$

Cuando disponga de algo más de tiempo, plantearé el procedimiento energético.

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Hola JCB , revisa, creo que $T_2=m g - m \ddot y$

Saludos.

[JCB]

Efectivamente Alriga, cometí este error de signo. Gracias y saludos cordiales.

[Alriga]

Por energías. Analicemos el sistema considerando el instante en el que, respecto de la posición de equilibrio, la masa del bloque está desplazada hacia abajo una longitud "y", por lo que el muelle está estirado "y" respecto de la posición de equilibrio.

Energía cinética de rotación de la polea:

$E_p=\dfrac 1 2 I w^2=\dfrac 1 2 \dfrac 1 2 M R^2 \left ( \dfrac v R \right )^2=\dfrac M 4 v^2$

Energía cinética del bloque:

$E_b=\dfrac 1 2 m v^2$

Energía potencial del resorte tomando como referencia la posición de equilibrio:

$U_r=\dfrac 1 2 k y^2$

Energía potencial del bloque tomando como referencia la posición de equilibrio:

$U_b=-m g y$

La conservación de la energía:

$E_p+E_b+U_r+U_b=0$

$\left ( \dfrac M 4+\dfrac m 2 \right ) v^2+\dfrac 1 2 k y^2-m g y=0$

$\left ( \dfrac M 4+\dfrac m 2 \right ) \dot y^2+\dfrac 1 2 k y^2=m g y$

Derivamos:

$2 \left ( \dfrac M 4+\dfrac m 2 \right ) \dot y \ddot y+k y \dot y=m g \dot y$

$\left ( \dfrac M 2+m \right ) \ddot y+k y =m g$

Ecuación diferencial lineal de segundo orden completa de coeficientes constantes.

La ecuación homogénea es:

$\left ( \dfrac M 2+m \right ) \ddot y_h+k y_h =0$

Cuya conocida solución es:

$y_h=A \cos (\omega t+\phi)$

Con:

$\omega=\sqrt{ \dfrac k{\dfrac M 2+m}}$

Es muy fácil comprobar que una solución particular de la ecuación diferencial completa es:

$y_p=\dfrac{m g}k$

Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial completa es:

$y=y_p+y_h$

$$y=\dfrac{m g}k + A \cos (\omega t+\phi)$$

Esto resuelve lo que solicita el enunciado, se trata de un movimiento armónico simple de frecuencia angular dada por:

$$\omega=\sqrt{ \dfrac k{\dfrac M 2+m}}$$

Si se desea calcular las constantes de integración $A$ y $\phi$ hay que imponer las condiciones iniciales. Supongamos que en el instante inicial $t=0$ tenemos un desplazamiento inicial $y_0$ y velocidad nula $v=0$

$v=\dot y=-\omega A \sin (\omega t+\phi)$

$t=0 \qquad v=0 \quad \rightarrow \quad \phi=0$

$t=0 \qquad y=y_0 \quad \rightarrow \quad y_0=\dfrac{m g}k +A \cos (0+0)$

$A=y_0-\dfrac{m g}k$

Y por lo tanto la ecuación del movimiento es:

$$y=\dfrac{m g}k +\left ( y_0- \dfrac{m g}k \right ) \cos \left ( \sqrt{ \dfrac k{\dfrac M 2+m}} \ t\right )$$

Saludos.

[Richard R Richard]

La diferencia entre ambos radica en que la ecuación 2 de JCB debería ser:

$-T_2+mg=m\ddot{y}$

$T_2=mg-m\ddot{y}$

Saludos

[Alriga]

Utilizando el momento cinético:

$$\dfrac{\dd L}{\dd t}=\sum M$$

Polea:

$L_p=I w=\dfrac 1 2 M R^2 \dfrac v R=\dfrac 1 2 M R v$

Bloque

$L_b=m v R$

$L=L_p+L_b=\left ( \dfrac M 2 + m\right ) R v=\left ( \dfrac M 2 + m\right ) R \dot y$

$$\dfrac{\dd L}{\dd t}= \left ( \dfrac M 2 + m\right ) R \ddot y$$

Suma de momentos:

$$\sum M=m g R - k y R$$

Igualando (1) y (2)

$\left ( \dfrac M 2 + m\right ) R \ddot y=m g R - k y R$

Simplificando:

$$\left ( \dfrac M 2+m \right ) \ddot y+k y =m g$$

Que es la misma ecuación diferencial que hemos obtenido y resuelto en el post#3

Saludos.

[Alriga]

Utilizando Mecánica Lagrangiana. Analicemos el sistema considerando el instante en el que, respecto de la posición de equilibrio, la masa del bloque está desplazada hacia abajo una longitud "y", por lo que el muelle está estirado "y" respecto de la posición de equilibrio.

Energía cinética de rotación de la polea:

$E_p=\dfrac 1 2 I w^2=\dfrac 1 2 \dfrac 1 2 M R^2 \left ( \dfrac v R \right )^2=\dfrac M 4 v^2$

Energía cinética del bloque:

$E_b=\dfrac 1 2 m v^2$

Energía potencial del resorte tomando como referencia la posición de equilibrio:

$U_r=\dfrac 1 2 k y^2$

Energía potencial del bloque tomando como referencia la posición de equilibrio:

$U_b=-m g y$

El Lagrangiano:

$\mathcal L=E - U$

$\mathcal L=\dfrac M 4 v^2+\dfrac m 2 v^2- \left ( \dfrac k 2 y^2-m g y \right )$

$$\mathcal L=\dfrac M 4 \dot y^2+\dfrac m 2 \dot y^2-\dfrac k 2 y^2+m g y$$

Impondremos que se cumpla la ecuación de Euler - Lagrange:

$$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial y} - \dfrac{\dd}{\dd t}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot y}=0$$

$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial y}=-k y + m g$

$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot y}=\dfrac M 2 \dot y+m \dot y=\left ( \dfrac M 2 +m \right ) \dot y$

$\dfrac{\dd}{\dd t}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot y}=\left ( \dfrac M 2 +m \right ) \ddot y$

Por lo tanto:

$-k y + m g-\left ( \dfrac M 2 +m \right ) \ddot y=0$

$$\left ( \dfrac M 2+m \right ) \ddot y+k y =m g$$

Que es la misma ecuación diferencial que hemos obtenido y resuelto en el post#3

Saludos.