Energía cinética de rotación versus energía cinética de traslación.

[JCB]

Hola a tod@s.

Supongamos una barra contenida en un plano horizontal girando respecto de un eje vertical fijo, situado en uno de sus extremos. La energía cinética de esta barra será la de rotación

$$E_{cr}=\dfrac{1}{2}I\omega^2=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}mL^2\omega^2=\dfrac{1}{6}mL^2\omega^2$$

Como $v_G=\omega\dfrac{L}{2}$,

$$L^2\omega^2=4v_G^2$$

Sustituyendo en (1),

$E_{cr}=\dfrac{2}{3}mv_G^2$

En cambio si la barra, en lugar de rotar respecto de un eje fijo, se trasladara a la misma velocidad lineal $v_G$, la energía cinética sería de traslación

$E_{ct}=\dfrac{1}{2}mv_G^2$

y su energía cinética sería un $25\ \%$ inferior a la de rotación. Me ha parecido paradójico. ¿ Qué opináis ?.

Después, se me ha ocurrido lo siguiente: considerando la barra de la primera situación (girando en un plano horizontal, respecto de un eje vertical fijo situado en un extremo), podríamos determinar la energía cinética de la barra (que será de rotación), a partir de la energía cinética elemental de cada elemento de masa $dm$.

$dE_c=\dfrac{1}{2}dm\ v^2$. Haciendo $dm=\lambda dr$ (siendo $\lambda=\dfrac{m}{L}$) y como $v=\omega r$,

$dE_c=\dfrac{\lambda \omega^2}{2}r^2dr$. Integrando entre y $L$,

$E_c=\dfrac{\lambda \omega^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{L}r^2dr=\dfrac{\lambda \omega^2L^3}{6}=\dfrac{m \omega^2L^2}{6}$. Sustituyendo (2),

$E_c=\dfrac{2}{3}mv_G^2$

Y ya me he quedado más tranquilo.

Saludos cordiales,
JCB.