1r ciclo Esfera rodando sin deslizar, velocidad distancia y tiempo. Problema rotacion

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, hoy tengo el siguiente problema que me está dando dolores de cabeza:

Se lanza en una bolera una bola de radio R con velocidad inicial $v_0$ y velocidad angular de rotación $\omega_0 = \dfrac{3 v_0}{R}$ hacia delante. El coeficiente de rozamiento cinético entre la bola y el suelo es $\mu_c$. Halla la velocidad de la bola cuando comienza a rodar sin deslizamiento. El tiempo que tarda hasta que desliza y la distancia que recorre hasta que rueda sin deslizar.


Mi resolución es:

Parece un problema fácil pero se me plantean varias dudas. La primera es el diagrama de fuerzas (no puedo subir fotos, tengo el sitio donde se almacenan lleno, si alguien fuese tan amable de ayudarme a vaciarlo para poder subir otras... gracias!). Supongamos una esfera rodando a velocidad $\omega$ hacia la derecha. Las fuerzas que intervienen son el peso, la normal y la fuerza de rozamiento que, según el Tipler va hacia la derecha, en la dirección del movimiento. Pero mi sentido común y otros ejercicios, me dicen que va hacia la izquierda, opuesto al movimiento, de esa es la única forma que la bola se iría frenando, entiendo yo... ¿hacia donde iría la fuerza de rozamiento?

Después de plantear las leyes de Newton y la de la rotación, obtengo que la aceleración de la bola es $a=\pm \mu_c g$. Yo pondría signo negativo, con la fuerza de rozamiento hacia la izquierda, pero el libro lo pone hacia la derecha positivo, cosa que no entiendo, aceleración positiva es que la bola va ganando velocidad... no entiendo.

Siguiendo con todo, de la ley de rotación, podríamos sacar la aceleración angular como:

$\alpha = \dfrac{5 \mu_c g}{2 R}$

donde hemos usado que el momento de inercia de una esfera de radio R es $I_0 = \dfrac{2}{5} m R^2$. Por la ley de la velocidad angular:

$\omega=\omega_0 + \alpha t = \dfrac{3 v_0}{R} - \dfrac{5 \mu_c g}{2 R} t$

Ahí hay un nuevo paso del Tipler que no comprendo. Si la aceleración angular sale positiva, ¿por qué ahí la pone negativa? Lo peor de todo es que si lo pones positiva, el tiempo después saldrá negativo, carece de sentido. Siguiendo con la famosa fórmula:

$v = R \omega = 3 v_0 - \dfrac{5 \mu_c g}{2} t$

Hallaríamos la velocidad en cualquier momento y, con la ecuación de movimiento de la velocidad:

$v=v_0+a t$

Tenemos que, poniendo la aceleración positiva como el Tipler (si no el tiempo sale negativo):

$3 v_0 - \dfrac{5 \mu_c g}{2} t =v_0+ \mu_c g t$

$2 v_0 = \dfrac{7}{2} \mu_c g t$

de donde:

$t = \dfrac{4 v_0}{7 \mu_c g}$

Y acudiendo a la velocidad, obtendríamos:

$v=\dfrac{11}{7} v_0$

Y por último para la distancia, haciendo la media de velocidades al principio y justo antes de empezar a rodar, tenemos que:

$x = \dfrac{36 v_0^2}{49 \mu_c g}$


Para resolverlo no tengo problemas, el cálculo es muy sencillo y lo comprendo. El problema es, primero, la fuerza de rozamiento y con ello el signo de la aceleración y después el signo de la aceleración angular.

Muchas gracias por la ayuda, se agradece eternamente.

[Zorak]

Re: Esfera rodando sin deslizar, velocidad distancia y tiempo. Problema rotacion

La fuerza de roce puede ir hacia la derecha o izquierda, esto depende de como rueda , con deslizamiento hacia delante o hacia atrás...Cosa que en el problema no se aclara.En el caso que la fuerza de roce mire en sentido del movimiento lineal de la bola , indica que hay deslizamiento hacia atrás.Y otra cosa a tener en cuenta es que cuando en la rodadura hay deslizamiento no se cumple que $\propto = \frac{a}{R }$

Sino que en el caso de deslizamiento hacia atrás : $\propto < \frac{a}{R }$

Y en el caso de deslizamiento hacia delante: $\propto > \frac{a}{R }$

[Richard R Richard]

Re: Esfera rodando sin deslizar, velocidad distancia y tiempo. Problema rotacion

. ¿hacia donde iría la fuerza de rozamiento?

la fuerza de roce siempre es contraria a la velocidad relativa de la parte inferior de la bola con la superficie.

si la bola esta girando la velocidad tangencial de su superficie es $v_t=\omega_o R$ si la velocidad de traslación es $v_o$ entonces la velocidad de la superficie de la esfera con el piso es

$v_t+v_o=V_{Rel}$

define un sistema de referencia y todo lo que vaya en dirección positiva lo tomas positivo, de lo contrario negativo, sea posición , velocidad o aceleración

ahora bien si el sentido de rotación es hacia delante la parte inferior de la bola gira hacia atrás por lo que $v_t$ debes tomar la negativa, y $v_o$ es positiva si haces el calculo $-3v_o+v_o=-2v_o$ te darás cuenta que $V_{Rel}$ es negativa por lo que el rozamiento ira hacia adelante , y es lógico pues si cuando tiras la bola esta gira mas rápido que lo que se traslada , el rozamiento hará que acelere su centro de masa.

si no te das cuenta piensa el ejemplo contrario, lanzas la bola con velocidad de traslación pero sin velocidad angular , lo lógico sería que parte de su energía cinética de traslación se convierta en velocidad de rotación,para que gire sin deslizar.

En este problema entonces el equilibrio de rodar sin deslizar se lograra cuando disminuya la velocidad angular, para que disminuya la velocidad angular la aceleración angular tiene el signo contrario a la velocidad angular, si a esta última la definiste positiva en tu sistema de referencia entonces la aceleración angular será negativa.

.Después de plantear las leyes de Newton y la de la rotación, obtengo que la aceleración de la bola es $a=\pm \mu_c g$. Yo pondría signo negativo,

no estamos de acuerdo, hemos visto que la aceleración del centro de masa será positivo pero la aceleración angular será negativa.

Recuerda que para que ruede sin deslizar la velocidad tangencial y la de traslación deben ser iguales y opuestas dando una velocidad relativa al piso nula (por eso no desliza)

Si la aceleración angular sale positiva, ¿por qué ahí la pone negativa?

repito la aceleración angular es negativa y la bola debe bajar su velocidad angular de rotación, para llegar a igualar el valor de la velocidad de traslación que viene aumentando, también por el rozamiento


$v=v_0+a t=R(\omega_o-\alpha t )$

Tenemos que, poniendo la aceleración positiva como el Tipler (si no el tiempo sale negativo):

el tiempo debe darte positivo sino has hecho algo mal.

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Esfera rodando sin deslizar, velocidad distancia y tiempo. Problema rotacion

Gracias Zorak, aclaré el criterio. También gracias a Richard R Richard, ahora sí lo entiendo, era un simple aclare de conceptos que te agradezco. Es que los sistemas en rotación me cuestan la verdad... Gracias a ambos!