Secundaria Ecuación de la trayectoria de una partícula.

[MSenrob]

Buenas, estoy con el siguiente problema:

Un punto se está moviendo a velocidad constante de 3 pies s⁻¹. La velocidad tiene una dirección tal que hace un ángulo de (pi/2)t radianes con el eje positivo de las X. Si x=y=0 cuando t=0, encontrar la ecuación de la trayectoria de la partícula.

A partir de los datos obtuve la ecuación de cada componente de la velocidad y la posición:

$<br /> {v}_{x}=3cos(\frac{\pi}{2 }t);<br /> <br /> {v}_{y}=3sin(\frac{\pi}{2 }t);<br /> <br /> {x}_{.}=3tcos(\frac{\pi}{2 }t);<br /> <br /> {y}_{.}=3tsin(\frac{\pi}{2 }t);<br /> <br />$

Para obtener la ecuación de la trayectoria debería despejar t de alguna de las ecuaciones de las componentes de la posición y sustituir en la otra. Sin embargo, se obtiene una ecuación con coseno inverso y seno y me resulta un tanto extraño. Me gustaría saber si me he equivocado al plantear las ecuaciones o si se puede obtener la ecuación de la trayectoria con una forma más simple.

Un saludo.

[angel relativamente]

Re: Ecuación de la trayectoria de una partícula.

No sé como puedes despejar $t$ de la ecuación $x=3t \cos\left(\dfrac{\pi}2 t\right)$, ya que está dentro y fuera del coseno. Una opción podría ser la siguiente: Elevando cada coordenada al cuadrado y sumándolos queda $x^2+y^2 =9t^2$ por la identidad fundamental de la trigonometría, y con eso ya tienes el parámetro temporal en función de las coordenadas. Observa que la trayectoria es una circunferencia de radio $3t$, y como $t$ varía la trayectoria irá dando vueltas en espiral.
Saludos,

[felmon38]

Re: Ecuación de la trayectoria de una partícula.

Creo que está mal integrado.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Ecuación de la trayectoria de una partícula.

$<br /> {x}_{.}=3tcos(\frac{\pi}{2 }t);<br /> <br /> {y}_{.}=3tsin(\frac{\pi}{2 }t);<br /> <br />$

En efecto felmon ha dado en el clavo , esas formulas estan mal, angel las tomo como validas, por tu afiremación pero no es así

$\dst\int \cos (ax) dx=\frac 1a \sin(ax)+C$

por lo que parametrizas fácilmente con la variable tiempo

$x(t)=\frac{6}{\pi}\sin(\frac{t\pi}{2})$
$y(t)=-\frac{6}{\pi}\cos(\frac{t\pi}{2})+\frac{6}{\pi}$

[angel relativamente]

Re: Ecuación de la trayectoria de una partícula.

Toda la razón, ni me fijé en las velocidades. No obstante para sacar la ec de la trayectoria implícita te sigue sirviendo el método de elevarlas al cuadrado y sumarlas, solo que con un resultado aún mas simple.

[Al2000]

Re: Ecuación de la trayectoria de una partícula.

Sólo por ser puntilloso, el enunciado debería decir que la partícula se mueve con rapidez constante. Si la velocidad es constante, entonces el movimiento es rectilíneo uniforme y la mención de dirección que cambia con el tiempo está fuera de lugar.

Saludos,

$\mathcal A \ell$