Cuestión sobre el cálculo de la longitud de onda para una onda armónica

[David_CCM]

Estimados compañeros de foro:
Me estaba enfrentando al siguiente problema de movimiento ondulatorio (remarco en rojo los apartados en los que tengo dudas):

Una onda senoidal se propaga por una cuerda estirada en el eje x. El desplazamiento de la cuerda en función del tiempo se grafica en la figura para partículas en x = 0 y en x = 0.0900 m. a) Calcule la amplitud de la onda. b) Calcule el periodo de la onda. c) Se sabe que los puntos x = 0 y x = 0.0900 m están separados una longitud de onda. Si la onda se mueve en la dirección + x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda. d) Si ahora la onda se mueve en la dirección -x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda.



De la gráfica se puede observar claramente que A = 4 mm y que T = 0.04 s. Ahora bien, al desarrollar los apartados c) y d) para determinar la longitud de onda procedo de la siguiente forma:
Sea la expresión de una onda armónica, $y(x,t) = A cos (kx -\omega t + \phi)$ determino el valor del ángulo de desfase $\phi$ tomando en cuenta las condiciones iniciales de que para x = 0 y t = 0, se tiene y = 0. Por ello, se obtiene:

$cos\phi = 0 \rightarrow \phi = \pi/2$

Por ello, la ecuación de la onda armónica para el caso de que esta se mueva en la dirección +x es:

$y(x,t) = A cos (kx -\omega t + \pi/2)$

Para obtenerse un máximo en esta expresión (esto es, que la elongación y sea la amplitud A) debe cumplirse la condición:

$cos(kx -\omega t +\pi/2) =1 \rightarrow kx - \omega t + \pi/2 = 2\pi n, n \in [0, 1, 2, ..., n]$

Determinada la expresión de la onda armónica, no me queda muy claro como seguir. Puedo considerar que, como ambos puntos están separados una longitud de onda, mientras el primer máximo se produce cuando x = 0 en t = 0.01 s, el segundo se produce cuando x = 0.090 m y t = 0.035 s, por lo que el valor de podría obtenerse cuando n = 0 en la anterior expresión (puesto que es el primer máximo). Por ello:

$kx -\omega t + \pi/2 = 0$

$\frac{2\pi}{\lambda}x -\frac{2\pi}{\omega} t + \pi/2 = 0$

Sustituyendo valores obtengo $\lambda \approx 0.14 m$.

Para el apartado d) la onda se propaga en dirección –x, lo que implica que la ecuación de la onda será la siguiente:

$y(x,t) = A cos (kx+ \omega t + \pi/2)$

En este caso ya no tengo muy claro como seguir... Se me ocurre que podría tomar el segundo máximo de la onda, es decir, cuando n = 1; de esta forma, cuando se produce un máximo en t = 0.05 s para x = 0, se produce un máximo en t = 0.035 s para x = 0.090 m. Al hacer el siguiente cálculo se obtiene un valor negativo ($\lambda = - 0.72 m$).

$\frac{2\pi}{\lambda}x +\frac{2\pi}{\omega} t + \pi/2 = 2\pi$

Llevo varias horas estancado con este problema y creo que el problema está en el razonamiento que sigo. Agradecería si alguien pudiese orientarme en dónde se encuentra el fallo. Un saludo y gracias.

[Richard R Richard]

Estimados compañeros de foro:
c) Se sabe que los puntos x = 0 y x = 0.0900 m están separados una longitud de onda. Si la onda se mueve en la dirección + x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda. d) Si ahora la onda se mueve en la dirección -x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda.[/B]

resulta obvio del enunciado , la diferencia de posiciones es justamente una longitud e onda $\lambda=0.09m$

y la rapidez es el módulo de la velocidad y esta es es la frecuencia por la longitud de onda o la longitud de onda sobre el periodo $|v|=|\lambda f|=|\dfrac{\lambda }{T}|=\dfrac{0.09m}{0.04s}=2.25m/s$

luego en el otro punto , si se mueve en sentido contrario la longitud de onda es la misma, la velocidad es $v_2=-v$ pero su rapidez seguirá siento $|v|=2.25m/s$

[Alriga]

Intento complementar lo que correctamente te explica Richard, si la onda se desplaza a la derecha su expresión en la forma coseno es:

$y(x, t)=A \cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} x -\dfrac{2\pi}{T} t+\phi_0 \right )$

$y(x, t)=0.004 \cos \left ( \dfrac{2\pi}{0.09} x -\dfrac{2\pi}{0.04} t+\dfrac{\pi}2 \right )$

Y si la onda se desplaza a la izquierda, (también en la forma coseno) es:

$y(x, t)=A \cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} x +\dfrac{2\pi}{T} t+\phi_0 \right )$

$y(x, t)=0.004 \cos \left ( \dfrac{2\pi}{0.09} x +\dfrac{2\pi}{0.04} t+\dfrac{\pi}2 \right )$

Nota que el dibujo de la onda azul x = 0.09 m está en el gráfico "para despistar": si tal como dice el enunciado, "se sabe que los puntos x = 0 y x = 0.09 m están separados una longitud de onda" entonces las ecuaciones para x=0 y para x=0.09 son, si la onda se desplaza a la derecha:

$y(0, t)=0.004 \cos \left ( -\dfrac{2\pi}{0.04} t+\dfrac{\pi}2 \right )$

$y(0.09, t)=0.004 \cos \left ( 2\pi -\dfrac{2\pi}{0.04} t+\dfrac{\pi}2 \right ) = 0.004 \cos \left ( -\dfrac{2\pi}{0.04} t+\dfrac{5\pi}2 \right ) = 0.004 \cos \left ( -\dfrac{2\pi}{0.04} t+\dfrac{\pi}2 \right )$

Y en el gráfico la "onda azul x=0.09" se superpone sobre la "onda roja x=0"

Lo mismo sucede si la propagación es hacia la izquierda, la onda roja y la onda azul realmente quedan "una encima de la otra"

Saludos.

[Richard R Richard]

Quizá vale la pena aclarar que cuando va de izquierda a derecha la distancia entre puntos de la que se saca la longitud onda se calcula como
$\lambda=|x_{i+1}-x_i|=\sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2}=\sqrt{(0.09m-0)^2}=0.09m$

Y cuando va en sentido contrario

$\lambda=|x_{i+1}-x_i|=\sqrt{(x_{i+1}-x_i)^2}=\sqrt{(0-0.09m)^2}=0.09m$

Por eso son iguales, la distancias son siempre positivas, pero las diferencias entre coordenadas de un sistema de referencia pueden no serlo.

[David_CCM]

Estimados compañeros de foro:

En primer lugar, agradeceros el tiempo que os tomáis en responder y la calidad de vuestras respuestas. Cuando leí el problema por primera vez pensé precisamente en lo que aportáis, es decir $\lambda = 0.09 m$, que sin lugar a dudas me parece obvio y lógico. Sin embargo, el quebradero de cabeza viene cuando leo en el libro de soluciones la siguiente respuesta (traducida textualmente):

En tanto que y = 0 para x = 0 y t = 0 y si la onda viaja en la dirección + x, entonces:

$y(x, t) = A sin\left[2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right]$

De la gráfica se deduce que si la onda viaja en dirección + x y si x = 0 y x = 0.090 m están dentro de una longitud de onda, el pico en t = 0.01 s para x = 0 se mueve y ocurre en t = 0.035 s (leído de la gráfica, aproximadamente) para x = 0.090 m. El pico de x = 0 es el primer pico pasado t = 0, así que corresponde al primer máximo de la expresión $y(x, t) = A sin\left[2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right]$ y por lo tanto ocurre en $2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) = \pi/2$. Si el mismo pico se mueve a t₁ = 0.035 s a x₁ = 0.090 m, entonces:

$2\pi \left( \frac{t_1}{T} - \frac{x_1}{\lambda}\right) = \pi/2$

Sustituyendo y resolviendo se obtiene $\lambda = 0.14 m$.

Para el apartado d es similar: si la onda viaja en la dirección – x, entonces:

$y(x, t) = A sin\left[2\pi \left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)\right]$

El pico en t = 0.050 s para x = 0 corresponde al pico en t₁ = 0.035 s para x₁ = 0.090 m. Este pico en x = 0 es el segundo pico pasado el origen, así que corresponde a $2\pi \left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right) = 5\pi/2$. Si el mismo pico se mueve a t₁ = 0.035 s para x₁ = 0.090 m, entonces:

$2\pi \left( \frac{t_1}{T} + \frac{x_1}{\lambda}\right) = 5\pi/2$

Sustituyendo y resolviendo se obtiene $\lambda = 0.24 m$.

Sinceramente no entiendo esta resolución muy bien, y al hacer el segundo apartado con mi función coseno, el resultado no es el mismo (entiendo que la función seno que plantean es exactamente la misma y lo he comprobado representándola).

¿Qué opináis vosotros de esta resolución?

Muchas gracias nuevamente y un saludo,

David

[Richard R Richard]

Una cosa es evaluar las dos gráficas entre dos tiempos dados y operar , yo no le encuentro ese sentido a la gráfica, si están separadas una longitud de onda , las gráficas se solapan, no pueden presentar desfase.... y otra diferente lo que hicimos antes.

[Alriga]

Si el enunciado dice:

...Se sabe que los puntos x = 0 y x = 0.09 m están separados una longitud de onda...

Entonces la resolución es la que te hemos dado Richard y yo. Diferente es, y entonces el método de resolución cambia, si lo que pretendía decir el enunciado era:

...Se sabe que los puntos x = 0 y x = 0.09 m están separados en menos de una longitud de onda...

En forma coseno con desplazamiento hacia la derecha:

$y(x, t)=A \cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} x -\dfrac{2\pi}{T} t+\phi_0 \right )$

Según el gráfico de x = 0 línea roja, deducimos

$y(0, t)=0.004 \cos \left ( -\dfrac{2\pi}{0.04} t+\dfrac{\pi}2 \right )$

Y por lo tanto

$y(x, t)=0.004 \cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} x -\dfrac{2\pi}{0.04} t+\dfrac{\pi}2 \right )$

Mirando ahora el gráfico de x = 0.09 línea azul, vemos que en t = 0.025 es la primera vez que pasa por cero subiendo hacia la derecha

$y(0.09, 0.025)=0.004 \cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} 0.09 -\dfrac{2\pi}{0.04} 0.025+\dfrac{\pi}2 \right )=0$

$\cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} 0.09 -\dfrac{2\pi}{0.04} 0.025+\dfrac{\pi}2 \right )=0$

$\dfrac{2\pi}{\lambda} 0.09 -\dfrac{2\pi}{0.04} 0.025+\dfrac{\pi}2=\dfrac{\pi}2$

$\lambda = \dfrac{0.04 \cdot 0.09}{0.025}=0.144$ m

De forma similar se resuelve si la onda se desplaza hacia la izquierda.

En forma coseno:

$y(x, t)=A \cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} x +\dfrac{2\pi}{T} t+\phi_0 \right )$

Según el gráfico de x = 0 línea roja, deducimos ahora que

$y(0, t)=0.004 \cos \left ( \dfrac{2\pi}{0.04} t-\dfrac{\pi}2 \right )$

Y por lo tanto

$y(x, t)=0.004 \cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} x +\dfrac{2\pi}{0.04} t-\dfrac{\pi}2 \right )$

Mirando ahora el gráfico de x = 0.09 línea azul, deducimos que hacia la izquierda en t = -0.015 será la primera vez que pasa por cero bajando

$y(0.09, -0.015)=0.004 \cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} 0.09 +\dfrac{2\pi}{0.04} (-0.015)-\dfrac{\pi}2 \right )=0$

$\cos \left ( \dfrac{2\pi}{\lambda} 0.09 +\dfrac{2\pi}{0.04} (-0.015)-\dfrac{\pi}2 \right )=0$

$\dfrac{2\pi}{\lambda} 0.09 +\dfrac{2\pi}{0.04} (-0.015)-\dfrac{\pi}2=-\dfrac{\pi}2$

$\lambda = \dfrac{0.04 \cdot 0.09}{0.015}=0.24$ m

Saludos.