Esfera sólida uniforme atada a una masa mediante una polea

[luisdlr]

Buenos días,

Quisiera pedir ayuda con la resolución del presente ejercicio de dinámica. El enunciado es el siguiente:

Una esfera sólida uniforme está atada mediante un yugo que le permite rotar en torno al centro de masas a una masa que cuelga mediante una polea, como se muestra en la figura.



a) Calcúlese la velocidad de la caja en el momento del impacto, teniendo en cuenta que el sistema parte del reposo.

Datos:
Caja: masa = M
Polea: masa = M, radio = R
Momento de inercia de la polea = 1/2 m*r^2
Esfera: masa = 2M, radio = 3R
Momento de inercia de la esfera = 2/5 m*r^2

He comenzado a realizar el problema por conservación de la energía. En el instante inicial (reposo), solamente tenemos energía potencial de la masa, puesto que no hay rotación ni traslación. En el instante del impacto, tendremos energía cinética de la masa, energía cinética de traslación de la esfera, energía cinética de rotación de la esfera, y energía cinética de rotación de la polea.

Mi problema, principalmente, es que tengo demasiadas incógnitas, y no se me ha ocurrido una manera de relacionar las velocidades angulares de la polea y de la esfera (¿serían la misma?), y la velocidad de la masa y la de la esfera. Creo que si me podéis ayudar con este paso, podré resolver el ejercicio completamente.

Muchísimas gracias de antemano,

Saludos cordiales

[Richard R Richard]

Hola como no te indican cual es el coeficiente de rozamiento, solo haz la suposición escrita de que la esfera rota sin deslizar. Entonces su velocidad angular es el cociente entrela velocidad de traslación y su radio.
Por otro lado si la cuerda que une los objetos no se estira ni encoje, el bloque y la esfera mantienen los mismos modulos de velocidad y aceleración.
A la vez la polea no desliza sobre la cuerda, se opone al movimiento y las tensiones de la cuerda a ambos lados no son iguales, y también tiene energía cinética de rotación.

Si no sale con los datos que pase, repregunta y profundizamos sobre las nuevas dudas.

Saludos

[luisdlr]

Muchas gracias Richard R Richard. Entonces, si he entendido bien, tras realizar todas estas consideraciones nos quedaría que el módulo de la velocidad del bloque es igual al de la esfera, ¿verdad?

Y en cuanto a la velocidad de la polea, ¿se podría relacionar también con las velocidades de la esfera y del bloque? Como no tengo más datos, y tengo que despejar la velocidad del bloque de la ecuación, imagino que debe existir una relación también con la velocidad de la polea, para así poder resolver la ecuación.

Gracias nuevamente. ¡Un saludo!

[Richard R Richard]

Exacto los módulos van a ser iguales

En cuanto a la polea sí tiene los datos m en radio R y eso puedes calcular el momento de Inercia medio de la masa por el radio al cuadrado.

su velocidad angular queda determinada también como la relación entre la velocidad de la cuerda sobre el radio de la polea

[luisdlr]

¡Buenos días!

Sigo algo bloqueado con el ejercicio... Básicamente lo que he hecho ha sido igualar lo siguiente:

Energía en el inicio:
Energía potencial de la caja (Mgh)

Energía al llegar al suelo:
Energía cinética de la masa
Energía cinética de traslación de la esfera
Energía cinética de rotación de la esfera
Energía cinética de rotación de la polea

Para los términos de energías cinéticas de rotación, he empleado los momentos de inercia que nos dan en el enunciado, y después he cambiado las velocidades angulares de esta forma: velocidad angular de la polea = velocidad de la cuerda / radio de la polea, y velocidad angular de la esfera = velocidad de la esfera / radio de la esfera.

Entonces, con las consideraciones que hablamos, la velocidad de la esfera es la misma que la velocidad de la caja, que es la que tenemos que calcular, y me queda una ecuación en la que conozco todo salvo la velocidad de la caja (incógnita), y la velocidad de la cuerda. ¿Qué relación habría entre estas últimas? Es que tomándolas todas como iguales creo mi solución no coincide con lo que debería dar.

A lo mejor por leyes de Newton sería más sencillo... (o no).

Muchísimas gracias por tu ayuda,

Saludos cordiales

[Richard R Richard]

Aver si me sale de una, andaba sin buena señal por eso no lo postee antes

vamos por energía

Al inicio tenemos energía potencial gravitatoria solamente $E_i=Mgh$

al final tenemos energía cinéticas de traslación y rotación, en la esfera, el bloque y la polea

$E_f=\overbrace{\frac12 (2M)v^2}^{Traslacion \ esfera}+\overbrace{\frac12 I_e\omega_e^2}^{Rotacion \ esfera}+\overbrace{\frac12 I_p\omega_p^2}^{Rotacion \ polea}+\overbrace{\frac12 Mv^2}^{Traslacion \ bloque}$

reemplazando

$E_f=\overbrace{Mv^2}^{Traslacion \ esfera}+\overbrace{\frac12 \frac25 2M3^2R^2\left(\dfrac{v}{3R}\right)^2}^{Rotacion \ esfera}+\overbrace{\frac12 \frac12 MR^2\left(\dfrac{v}{R}\right)^2}^{Rotacion \ polea}+\overbrace{\frac12 Mv^2}^{Traslacion \ bloque}$

simplificando


$E_f=Mv^2(1+\frac2{5} +\frac14 +\frac12)=\dfrac{43}{20}Mv^2$


$E_i=E_f$

entonces $v=\sqrt{\dfrac{20gh}{43}}$

revisa si no cometí algún error de reemplazo o cálculo.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Aplicando la Dinámica, me da el mismo resultado que a Richard R Richard.

1) $\sum{F}=ma$, para la esfera.

$-F_r+T_e=2Ma$

$$T_e=F_r+2Ma$$

2) $\sum{M}=I\alpha$, para la esfera.

$F_r3R=\dfrac{2}{5}2M(3R)^2\dfrac{a}{3R}$

$$F_r=\dfrac{12}{15}Ma$$

3) $\sum{F}=ma$, para la caja.

$-T_c+Mg=Ma$

$$T_c=Mg-Ma$$

4) $\sum{M}=I\alpha$, para la polea.

$-T_eR+T_cR=\dfrac{1}{2}MR^2\dfrac{a}{R}$

$$-T_e+T_c=\dfrac{1}{2}Ma$$

Sustituyendo (2) en (1),

$$T_e=\dfrac{12}{15}Ma+2Ma=\dfrac{42}{15}Ma$$

Sustituyendo (3) y (5) en (4),

$a=\dfrac{10}{43}g$

$v=\sqrt{2ah}=\sqrt{\dfrac{20}{43}gh}$

Saludos cordiales,
JCB.